國立嘉義高中 104 學年度科學班科學能力檢定一數學成就測驗試題
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1. 若方程式 $3|x-a|+b=7$ 的解為 $x=8$ 或 $x=2$, 求 $a+b$ 的值。
2. 如圖 (一)所示, 有 $11$ 個邊長是 $2$ 公分的小正方形放置在一個大正方形内, 試問大正方形的邊長為多少公分?
3. 利用下表, 求 $(1.362)^{2} \times(1.453)^{3}$ 的值。【算到小數點後第 3 位】
4. 大一在 2015 年 1 月 1 日早上打開他的「智障型」手機, 螢幕顯示要重新輸入年月日, 但大一以正確的格式輸入 20150101 多次都遭拒絕, 原來這款手機從 2015 年之後的日期均不能設定。為了解決問題, 他想到一個妙招, 用之前的年月日 (20xy0101, 其中 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 是阿拉伯數字)輸入, 使得其一月份的日期與 2015 年的一月份一模一樣，求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值。
【兩個解】
5. 已知食鹽水 100 公克中含食鹽 16 公克, 今取出此食鹽水 25 公克放入空的甲杯中, 之後再加入 25 公克的純水於甲杯, 接著從甲杯取出食鹽水 25 公克放入空的乙杯中, 同樣再加入 25 公克的純水於乙杯中。試問此時乙杯中有多少公克 的食鹽 ?
6. 以邊長為 2 的正六邊形之 6 個頂點中的 3 個做出的三角形共有 20 個, 其中 $\mathrm{a}$ 個正三角形, $\mathrm{b}$ 個直角三角形, c 個非 正三角形的等腰三角形, 求序組 $(a, b, c)$ 。
7. 如圖 (二), 已知 $\mathrm{A}(1) 、 \mathrm{~B}(4) 、 \mathrm{C}(5)$ 為數線上三點, $\mathrm{O}$ 為原點, 在長方形 $\mathrm{BCDE}$ 中, $\overline{\mathrm{BE}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$, 並依下列步驟作圖 :
(1) 以 B 點為圓心, $\overline{\mathrm{BD}}$ 長為半徑，畫弧交數線於 $\mathrm{F}$ 點；
(2) 以 $\overline{\mathrm{OF}}$ 為直徑作半圓 ;
(3) 過 $\mathrm{A}$ 點作 $\overline{\mathrm{AH}}$ 垂直於數線, 交半圓於 $\mathrm{H}$ 點。
若 $\overline{\mathrm{AH}}$ 的長可以寫成 $\displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}})$, 其中 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 皆為正整數, 求 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ 的值。
8. 如圖(三), 三個由有色玻璃做成的全等直角三角形, 部分重疊放置於面積為 20 的正三角形內部, 使得每個直角三角形各有一內角與正三角形的內角重合。若覆蓋兩次(深灰色)部分的總面積恰好等於沒有覆蓋(白色)部分的面積, 求一個由有色玻璃做成之直角三角形的面積。
9. 求300的所有正因數之倒數的總和。
10. 設正整數 $\displaystyle \mathrm{a}=\sqrt{\underbrace{11 \cdots \cdots 1-\underbrace{22 \cdots \cdots 2}_{40 \text { 崽 }}}_{80 \text { 個 }}}$, 求 $\mathrm{a}$ 的各位數字之總和。
11. 已知 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \cdots \cdots$ 為每一項都是正整數的等差數列, 若 $\mathrm{a}_{1}=10$ 且第 $\mathrm{a}_{2}$ 項為 $100$ , 求第 $\mathrm{a}_{3}$ 項的值。
12. 如圖(四)所示, 正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的邊長為 $1, \mathrm{E}$ 是 $\overline{\mathrm{CD}}$ 上的一點, $\overline{\mathrm{AE}}$ 的中垂線 $\overline{\mathrm{FG}}$ 分別與 $\overline{\mathrm{AD}}$ 、 $\overline{\mathrm{AE}} 、 \overline{\mathrm{BC}}$ 交於 $F 、 H 、 K$, 並交 $\overline{\mathrm{AB}}$ 的延長線於點 $\mathrm{G}$ 。已知 $2 \overline{\mathrm{HK}}=9 \overline{\mathrm{FH}}$, 求 $\overline{\mathrm{DE}}$ 的長。
13 在歐洲 哥德式建築的教堂裡, 我們發現一個窗戶的造型如圖(五)所示, 圖中 $\overparen{A B} 、 \overparen{A C}$ 分別是以 $\mathrm{C}$ 點與 $\mathrm{B}$ 點為圓心, 以 $\overline{\mathrm{BC}}$ 長 20 為半徑所畫出來的圓弧, 半圓 $\mathrm{O}_{1}$ 與半圓 $\mathrm{O}_{2}$ 的半徑皆為 5 , 又圓 $\mathrm{O}_{3}$ 是一個同時和 $\overparen{A B} 、 \overparen{A C}$ 、半圓 $\mathrm{O}_{1}$ 與半圓 $\mathrm{O}_{2}$ 皆相切的圓, 試求 圓 $\mathrm{O}_{3}$ 的半径長。
14 如圖(六)所示, $A B C D E F$ 為凸六邊形, $G 、 H 、 I 、 J 、 K$ 分別為 $\overline{\mathrm{AB}} 、 \overline{\mathrm{BC}} 、 \overline{\mathrm{DE}} 、 \overline{\mathrm{EF}}$ 、 $\overline{\mathrm{BE}}$ 的中點 $, \overline{\mathrm{KP}} \perp \overline{\mathrm{GJ}}, \overline{\mathrm{KQ}} \perp \overline{\mathrm{HI}}$ 。若 $\overline{\mathrm{KP}}=15, \overline{\mathrm{GJ}}=24, \overline{\mathrm{KQ}}=12, \overline{\mathrm{HI}}=20$, 求六邊 形 $ABCDEF$ 的面積。
15 在坐標平面上, 已知抛物線 $\Gamma: y=4-x^{2}$ 的頂點為 $A$, 且 $\Gamma$ 與X軸的正、負向分別交於 $B 、 C$ 兩點。今在 $x$ 軸上方有一直 線 $\mathrm{L}, \mathrm{L}$ 平行X軸且與 $\Gamma$ 交於 $\mathrm{D} 、 \mathrm{E}$ 兩點, 其中 $D$ 點的横坐標為正數。試求五邊形 $\mathrm{AECBD}$ 面積的最大值。
16 設四邊形 $ABCD$ 內接於一圓, $\overline{\mathrm{AB}}$ 與 $\overline{\mathrm{CD}}$ 的延長線交於圓外一點 $\mathrm{E}, \overline{\mathrm{BC}}$ 與 $\overline{\mathrm{AD}}$ 的延長線也交於圓外一點 $F$ , 若 $\angle \mathrm{AED}=33^{\circ}, \angle \mathrm{AFB}=39^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{BCD}$ 的度數。【四個解】
17 若實數 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 滿足 $\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{855}+\frac{\mathrm{y}}{559}=1, \frac{\mathrm{y}}{341}+\frac{\mathrm{x}}{637}=1$, 求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值。
18 在某一次競賽中, 共有37位參賽者, 假設競賽結果每一位參賽者獲得的分數都是非負的整數。已知所有參賽者的總 得分數為150分, 且任意17位參賽者的得分總和至少45分, 試問參賽者可能得到的最高分數是幾分?
19 如圖 (七), $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$, 圓 $\mathrm{O}$ 分別切 $\overline{\mathrm{BC}} 、 \overline{\mathrm{AB}} 、 \overline{\mathrm{AC}}$ 三邊於 $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q} 、 \mathrm{~T}$ 三點, $\mathrm{R}$ 為直線 $\mathrm{PQ}$ 與直線 $\mathrm{AC}$ 的交點。設圓 $\mathrm{O}$ 的半徑長為 2 , 且 $\angle \mathrm{OBP}=30^{\circ}$, 試求 $\overline{\mathrm{PR}}$ 的長。
20 如圖(八), 在銳角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\overline{\mathrm{BC}}=6 \sqrt{3}, \angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{D}$ 是 $\overline{\mathrm{BC}}$ 的中點, $\mathrm{G}$ 為 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的重心。 若 $\mathrm{B} 、 \mathrm{C}$ 為兩定點, 試求當 $\mathrm{A}$ 點移動時, $\overline{\mathrm{GD}}$ 長的最大可能範圍。
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