建 臺北市立建國高級中學 $110$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定
【數學能力檢定】試題卷
一、多重選擇題: 每題 $7$ 分，共 $14$ 分。答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。
說明：
(1) 每題的五個選項各自獨立, 其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答 對者得 $7$ 分，只答錯一個選項者可得 $4$ 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。
(2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $」 。$
1. 如果一個正整數 $n$ 能夠同時唯一表示為 $k(k \geq 2)$ 個正整數的和 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}$ 與它們之積 $a_{1} \times a_{2} \times \cdots \times a_{k}$，那麼此正整數稱為"好數"。例如 $10$ 就是"好數"，$10=5+2+1+1+1=5 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1$， 且此種表示唯一。請選出正確的選項。
(1) 34 是"好數"
(2) 17 是"好數"
(3) 若 $n=p^{2}+q^{2}$, 其中 $p 、 q$ 為相異正整數，則 $n$ 是 "好數"
(4) 若 $n=p \times q$, 其 中 $p 、 q$ 為相異質數，則 $n$ 是"好數"
(5) 若 $n=p \times q \times r$, 其中 $p 、 q 、 r$ 為兩兩相異 質數，則 $n$ 是 "好數"
2. 設 $a, b, c, d, e, f$ 是 $1,2,3,4,5,6$ 的一個排列，且滿足下列關係式 :
$$
\left\{\begin{array}{l}
c \times d
國立嘉義高中 104 學年度科學班科學能力檢定一數學成就測驗試題 (0) 填充題 (每題 5 分, 共 100 分) 1. 若方程式 $3|x-a|+b=7$ 的解為 $x=8$ 或 $x=2$, 求 $a+b$ 的值。 2. 如圖 (一)所示, 有 $11$ 個邊長是 $2$ 公分的小正方形放置在一個大正方形内, 試問大正方形的邊長為多少公分? 3. 利用下表, 求 $(1.362)^{2} \times(1.453)^{3}$ 的值。【算到小數點後第 3 位】 4. 大一在 2015 年 1 月 1 日早上打開他的「智障型」手機, 螢幕顯示要重新輸入年月日, 但大一以正確的格式輸入 20150101 多次都遭拒絕, 原來這款手機從 2015 年之後的日期均不能設定。為了解決問題, 他想到一個妙招, 用之前的年月日 (20xy0101, 其中 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 是阿拉伯數字)輸入, 使得其一月份的日期與 2015 年的一月份一模一樣，求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值。 【兩個解】 5. 已知食鹽水 100 公克中含食鹽 16 公克, 今取出此食鹽水 25 公克放入空的甲杯中, 之後再加入 25 公克的純水於甲杯, 接著從甲杯取出食鹽水 25 公克放入空的乙杯中, 同樣再加入 25 公克的純水於乙杯中。試問此時乙杯中有多少公克 的食鹽 ? 6. 以邊長為 2 的正六邊形之 6 個頂點中的 3 個做出的三角形共有 20 個, 其中 $\mathrm{a}$ 個正三角形, $\mathrm{b}$ 個直角三角形, c 個非 正三角形的等腰三角形, 求序組 $(a, b, c)$ 。 7. 如圖 (二), 已知 $\mathrm{A}(1) 、 \mathrm{~B}(4) 、 \mathrm{C}(5)$ 為數線上三點, $\mathrm{O}$ 為原點, 在長方形 $\mathrm{BCDE}$ 中, $\overline{\mathrm{BE}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$, 並依下列步驟作圖 : (1) 以 B 點為圓心, $\overline{\mathrm{BD}}$ 長為半徑，畫弧交數線於 $\mathrm{F}$ 點； (2) 以 $\overline{\mathr...
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