跳至主要内容

臺南一中科學班110年數學檢定試卷

南 臺南一中科學班110年數學檢定試卷 
 一、單選題：(10題，共50分) 
 1. 方程式$xyz\ = \ 2021$，求整數解數對$(x,y,z)$共有多少組？(其中$x,y,z$ 未必是不同的數，且數對位置不同則視為不同的解)　 
 (A) $4$ 
 (B) $6$ 
 (C) $9$ 
 (D) $24$ 
 (E) $36$ 
 2 .連續 $110$ 個正整數 $a_{1},a_{2}\ldots,a_{10}$，若其總和為 $n^{2}$ ，其中 $n$ 為正整數，則的 $n$ 最小值為何？
 (A) $55$
 (B) $110$ 
 (C) $165$ 
 (D) $220$ 
 (E) $330$
 3 .設 $m$、$n$ 為整數，且多項式 $3x^{3} + mx^{2} - 24x + 12$ 被 $x^{2} - 5x + n$ 所整除，試求 $m + n$之值為何？ 
 (A) $- 8$ 
 (B) $- 7$ 
 (C) $- 6\ $ 
 (D) $- 5$ 
 (E) $- 4$ 
 4 .當 $x \neq 0$ 時，多項式 $f(x)$ 滿足$\displaystyle 4f(x) - x \bullet f\left( \frac{1}{x} \right) = 30$，則 $f(2021)$ 的值為何？ 
 (A) $1070$ 
 (B) $2020$ 
 (C) $3060$ 
 (D) $4050$ 
 (E) $5030$ 
 5 .已知 $\bigtriangleup ABC$ 邊長為公差 $2$ 的整數，且最大角為最小角的 $2$ 倍，求此三角形的邊長？ 
 (A) $18$ 
 (B) $28$ 
 (C) $30$
 (D) $36$ 
 (E) $40$ 
 6 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 $a$、$b$。試問滿足 $3$、$a$、$b$ 恰為等腰三角形(包含正三角形)的三邊長之機率為何？ 
 (A) $\displaystyle \frac{1}{3}$ 
 (B) $\displaystyle \frac{13}{36}$ 
 (C) $\displaystyle \frac{7}{18}$ 
 (D) $\displaystyle \frac{5}{12}$ 
 (E) $\displaystyle \frac{4}{9}$ 
 7 .設 $k$ 為正整數，若已知$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k - 1}} < \frac{1}{2\sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}$，試求 $\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{99}}$ 的整數部份為何？ 
 (A) $17$ 
 (B) $18$ 
 (C) $19$ 
 (D) $20$
 (E) $21$
 (後面還有試題) 
 

 





8 如圖，一個圓交一個正 $\bigtriangleup ABC$ 於六個點，設 $\overline{AI} = 2$， $\overline{IH} = 13$，$\overline{HC} = 1$， $\overline{DE} = 7$，$試求 $$\overline{FG}$ 之值為何？
 (A) $2\sqrt{22}$ 
 (B) $6\sqrt{3}$ 
 (C) $3\sqrt{15}$ 
 (D) $9$ 
 (E) $3\sqrt{10}\ $ 
 9. 如圖，$\bigtriangleup ABC$ 中，$\overline{AB} = 12$， $\overline{AC} = 20$，$\overline{BC} = 28$， $\angle BAC = 120{^\circ}$，$D$為 $\overline{BC}$ 中點， $\overline{DE}\bot\overline{AB}$ 於 $E$，$\overline{DF}\bot\overline{AC}$ 於 $F$，$\overline{AD}$ 與 $\overline{EF}$ 交於G。 則 $\displaystyle \frac{\bigtriangleup DEG面積}{\bigtriangleup ABC面積}$ 的值為何？ 
 (A) $\displaystyle \frac{1}{6}$ 
 (B) $\displaystyle \frac{3}{28}$ 
 (C) $\displaystyle \frac{7}{60}$ 
 (D) $\displaystyle \frac{10}{123}$ 
 (E) $\displaystyle \frac{15}{416}$
 



 10.如圖，梯形$\ ABCD\ $中$\ \angle B\ $為直角，$E$為$\ \overline{AD}\ $中點，且$\ \overline{BF}\ :\ \overline{FC} = 2\ :3\ $， $\ G\ $為$\ \overline{EC}\ $與$\ \overline{FD}\ $交點，$\ \overset{\overleftrightarrow{}}{BC}\ $直線交 $\overline{DC}$ 於H，若$\ \overline{AB} = \overline{AD} = 6$，且 $\overline{BC} = 8$，求 $\displaystyle \frac{\bigtriangleup DGH面積}{\bigtriangleup GBF面積}$ 的值為何？ 
 (A) $\displaystyle \frac{2}{9}$ 
 (B) $\displaystyle \frac{2}{13}$ 
 (C) $\displaystyle \frac{3}{16}$ 
 (D) $\displaystyle \frac{5}{26}$ 
 (E) $\displaystyle \frac{8}{43}$ 



 
(後面還有試題) 

 二、填充題：（5題，共25分）
 
1. 小明請姊姊猜數碼$A$，$B$構成的兩位數相乘運算 $\overline{AB} \times \overline{BA} = \left\langle \ \ \ \ \right\rangle$，其中相同的字母代表相同的數碼，姊姊猜 $196$，小明說不只三位數而已，不過妳猜對了個位數且所有的數碼總和也相同。試推論出相乘後的答案 $\left\langle \ \ \ \ \right\rangle = ?$ 

 2. . 已知由$f(x) = - x^{2} + 4x + 1$、$g(x) = - x + 5$兩圖形所圍成的封閉區域 $K$，若作直線 $L$ 上垂直 $x$軸，分別與封閉區域 $K$ 的邊界交於 $P$、$Q$ 兩點，求在封閉區域內的 $\overline{PQ}$ 長之最大值為何？ 

 3. 從 $1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12$ 這些數中任意選出三個相異的數，不考慮選出的順序，試問有多少組數能滿足「三數乘積是一完全平方數」？（例如：$3，6，8$ 即為符合條件的一組數。） 

 4. 已知 $f(x)$ 是 $10$ 次多項式，若 $f(x) = 0$ 的 10 個根為 $1 \times 2、3 \times 4、5 \times 6、7 \times 8、9 \times 10、$$11 \times 12、13 \times 14、15 \times 16、17 \times 18、19 \times 20$，則 $f\left( x^{2} + x \right) = 0$的20個根之總和為？ 

 5. 平行四邊形$ABCD$中，$E$為 $\overline{BC}$ 中點，$\overline{AE}$ 與 $\overline{BD}\ $交於$F$。若 $\overline{AB} = \overline{AE}$，且$\overline{EF}\ :\overline{BE}\ :\overline{BE}\ :\overline{BE} = 1\ :2\ :2\ :4$，則 $\angle BDC = ?$ 

 （後面還有試題）

 三、計算證明題：（3題，共25分）（給分原則是依據思考邏輯的嚴謹性與表達的清晰完整性）

 1. 小科一家人到廻轉壽司店用餐，店內用來盛放壽司的盤子有紅、銀、金 $3$ 種顏色，單價分別為 $40$元、$60$元、$80$元。小科一家人用完餐後，共拿了 $30$個盤子，總金額是 $1700$ 元。小科發現，其中一種顏色的盤子數量，是另外兩種顏色盤子數量之和。試問：小科一家人各種顏色的盤子各拿了多少個？（5分） 

 2.⑴右圖的半圓內有一個內切圓與直徑 $\overline{AB}\ $而相切於 $C$ 點，若小圓半徑 $r$，$\overline{AC\ } = \ a，\overline{BC\ } = \ b$ 




 試證明：$\displaystyle \mathbf{r\ } = \frac{ab}{a + b}$（4分) 

 (2)右圖的半圓中 $\overline{AB}\ $為其直徑，且 $\overline{EF}$ 垂直 $\overline{AB}$ ，又半圓內的兩個內切圓分別都和 $\overline{EF}$ 相切，左右兩圓的半徑分別為 $12$ 和 $8$，求直徑 $\overline{AB}\ $的長？（6分）




 3. 如右圖，給定一個銳角三角形$\bigtriangleup ABC$，其中 M為 $\overline{BC}$ 的 中點。設圓 $O$ 通過 $A$ 且與 $\overline{BC}$ 相切於 $C$。若直線AM交圓 $O$ 於 $D$，連接 $\overline{BD}$ 並延長此直線交圓 $O$ 於另一 點 $E$。連接 $\overline{AE}$。 
試證：
（1） $\bigtriangleup ABM〜 \bigtriangleup BDM\ $（ 5 分） 
（2）$\angle BAC\ = \ \angle CAE\mathbf{\ }$（5分）
 End

评论

发表评论

此博客中的热门博文

嘉義高中科學班104年數學檢定試卷

 國立嘉義高中 104 學年度科學班科學能力檢定一數學成就測驗試題 (0) 填充題 (每題 5 分, 共 100 分) 1. 若方程式 $3|x-a|+b=7$ 的解為 $x=8$ 或 $x=2$, 求 $a+b$ 的值。 2. 如圖 (一)所示, 有 $11$ 個邊長是 $2$ 公分的小正方形放置在一個大正方形内, 試問大正方形的邊長為多少公分? 3. 利用下表, 求 $(1.362)^{2} \times(1.453)^{3}$ 的值。【算到小數點後第 3 位】 4. 大一在 2015 年 1 月 1 日早上打開他的「智障型」手機, 螢幕顯示要重新輸入年月日, 但大一以正確的格式輸入 20150101 多次都遭拒絕, 原來這款手機從 2015 年之後的日期均不能設定。為了解決問題, 他想到一個妙招, 用之前的年月日 (20xy0101, 其中 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 是阿拉伯數字)輸入, 使得其一月份的日期與 2015 年的一月份一模一樣，求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值。 【兩個解】 5. 已知食鹽水 100 公克中含食鹽 16 公克, 今取出此食鹽水 25 公克放入空的甲杯中, 之後再加入 25 公克的純水於甲杯, 接著從甲杯取出食鹽水 25 公克放入空的乙杯中, 同樣再加入 25 公克的純水於乙杯中。試問此時乙杯中有多少公克 的食鹽 ? 6. 以邊長為 2 的正六邊形之 6 個頂點中的 3 個做出的三角形共有 20 個, 其中 $\mathrm{a}$ 個正三角形, $\mathrm{b}$ 個直角三角形, c 個非 正三角形的等腰三角形, 求序組 $(a, b, c)$ 。 7. 如圖 (二), 已知 $\mathrm{A}(1) 、 \mathrm{~B}(4) 、 \mathrm{C}(5)$ 為數線上三點, $\mathrm{O}$ 為原點, 在長方形 $\mathrm{BCDE}$ 中, $\overline{\mathrm{BE}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$, 並依下列步驟作圖 : (1) 以 B 點為圓心, $\overline{\mathrm{BD}}$ 長為半徑，畫弧交數線於 $\mathrm{F}$ 點； (2) 以 $\overline{\mathr...
发表评论
阅读全文

建國中學科學班108年數學能力試卷(檔案有問題)

建  臺北市立建國高級中學 108學年度科學班甄選入學科學能力檢定   一、多重選擇題：每題 7 分，共 14 分。(答案須依題號寫在答案卷上, 否則不予計分)   說明：   (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 7 分, 只答錯一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。  (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 ${ }^{\circ}$   1. 設 2 到 48 的連續 24 個偶數之乘積為 $a，1$ 到 47 的連續 24 個奇數之乘積為 $b$，且 $\displaystyle x=\frac{b}{a}$ 。 已知 $x$ 可化簡成 $\displaystyle \frac{d}{c}$，其中 $c, d$ 均為正整數且 $c, d$ 互質；另知 $\sqrt{x}$ 可化簡成 $\displaystyle \frac{n}{m} \sqrt{p} ，$ 其中 $m, n, p$ 均為正整數, $m, n$ 互質且 $m, p$ 互質。請選出正確的選項。  (1) $a$ 有 9 個質因數  (2) $3^{22}$ 是 $b$ 的因數  (3) $d$ 有 9 個質因數  (4) $2^{23}$ 是 $m$ 的因數  (5) $n=15$   2. 如圖 (參考用圖, 不是精準圖形)，已知 $\overline{A B}$ 為圓的直徑， $O$ 為其圓心，且半徑為 $1 \circ M$ 為圓上一定點，且 $\angle A O M=90^{\circ}$，$C$ 是在上半圓上移動的點，連接 $A 、 C$ 兩點並延長至 $P$ 點 ， 使得 $\overline{C P}=\overline{C B}$ 。請選出正確的選項。   (1) 若 $C \neq B$ 且 $C \neq M$, 則 $\angle B C M$ 的度數只有兩個可能值   (2) 當 $C$ 點移動時, $P...
发表评论
阅读全文

建國中學科學班106年數學能力檢定試卷

建  臺北市立建國高級中學 $106$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定  【數學能力檢定】試題卷      甄選證號碼    注意事項：   1. 測驗時間為 $100$ 分鐘。   2. 請核對「答案卷」左上角的號碼與自已的甄選證號碼是否一致，並於本試題卷右上角標 示甄選證號碼。   3. 試題卷共 $4$ 頁，可利用空白處計算，但答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。   4. 試題卷務必連同答案卷（均請勿書寫姓名）一併繳回。   一、多重選擇題：每題 $7$ 分， 共 $14$ 分。  說明：  (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對 者得 $7$ 分，只答錯一個選項者可得 $4$ 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作 答者，該題以零分計算  (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $\lrcorner 。$   1. 已知 $a, b, c, d$ 為四個整數, 滿足 $a \geq b \geq c \geq d， a+b+c+d=0，a d-b c+6=0$，請問下列哪些選項是 正確的?   (1) $(a+b)(a+c)=6$   (2) $(a+b)$ 之值可能為 $-2$   (3) $(b-c)$ 的最小值為 $1$   (4) $(a-d)$ 的最大值為 $5$   (5)共有四組序對 $(a, b, c, d)$ 滿足題目的所有條件   2. 在坐標平面上，設 $O$ 為原點，已知抛物線 $\Gamma$ 的方程式為 $y=x^{2}+2 x+1$， 直線 $L_{n}$ 的方程式為 $y=\left(2^{n-2}\right) x+5$，其中 $n$ 為正整數, 設拋物線 $\Gamma$ 與直線 $L_{n}$ 交於 $A_{n} 、 B_{n}$ 兩點，過點 $A_{n}$ 對 $x$ 軸作垂直 線交 $X$ 軸於...
发表评论
阅读全文