台南一中科學班109年數學實作試卷

南 109 學年度國立成功大學/臺南一中科學班 實驗實作 數學科(試題本)

 

請不要翻到次頁! 讀完本頁的說明, 聽從監試委員的指示才開始作答! 

請閱讀以下測驗作答說明： 

 1. 試題共 6 題, 共計 100 分。 

 2. 測驗時間 $15: 10 \sim 16: 40$, 共 $90 $分鐘。 

 3. 本測驗不另外提供計算紙, 請利用此試題本空白處作為計算用。 

 4. 務必將作答過程及答案書寫於答案本, 並請分配好空間作答。

 5. 作答時不可使用計算機, 如有㩦帶附計算功能之任何工具, 請放在教室前後方地板上。

 6. 請務必將甄選證號及姓名書寫於右上方欄位。 

 7. 測驗結束後, 請將試題本、答案本放在桌上, 待監考人員清點確認數量後，始可離開試場。

1.

(1) 已知 $a 、 b$ 為二整數, 請求出滿足 $4 a^{2}-b^{2}+20 a+2 b+19=0$ 的所有整數解$(4\%)$ (2)已知 $a 、 b$ 為二整數, 請求出滿足 $3 a^{3}-b^{2}+18 a-6 b-30=0$ 的所有整數解 $(12 \%)$ 

 2.

 一個正整數 $n$ 若能表示為若干個正整數的和, 且這些正整數的倒數和恰為 1 , 則稱 $n$ 為 “奇特數”。例如 : $22=2+4+8+8$ 且 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$, 故 $22$ 就是一個“奇特數”。

 (1)試證：$11$ 為“奇特數”。$(2\%)$ 

 (2)試證：若 $n$ 為“奇特數”, 則 $2 n+2$ 及 $2 n+9$ 皆為“奇特數”。$(8\%)$ 

 (3)試證：$2020$ 為“奇特數”。$(6\%)$ 

 3. 

(1)如右圖, 一圆之圆心為 $O, P$ 點為圆外一定點, 直線 $O P$ 交圆於 $A 、 B$ 兩點, 試證：點 $P$ 與圆周上之點的最小距離為 $\overline{P A}$ 長, 最大距離為 $\overline{P B}$ 長。$(8\%)$ 

(2)如右圖, $\triangle A B C$ 之 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的內角平分線分別交外接圆於 點 $P 、 Q 、 R$，令 $\triangle A B C$ 的内心(即為三内角的角平分缐交點)為 $I$, 試證: $\overline{I P}+\overline{I Q}+\overline{I R}>\displaystyle \frac{1}{2}(\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{A C})$ 。

 4. 

(1)平面上有一三角形 $A B C, D$ 為 $\overline{B C}$ 上一點且 $\overline{B D}<\overline{C D}$, 若 $P$ 為 $\overline{B C}$ 中點, 過 $P$ 作 $\overline{A D}$ 之 平行線交 $\overline{A C}$ 於 $D^{\prime}$, 試証：四邊形 $A B D D^{\prime}$ 面積等於 $\triangle C D D^{\prime}$ 面積。(8\%)

 (2)定義(1)中的 $D^{\prime}$ 為 $D$ 所對應之面積平分點。若平面上有一三角形 $A B C, D 、 E 、 F$ 分別為 $\overline{B C} 、 \overline{C A} 、 \overline{A B}$ 上的點且 $\overline{B D}<\overline{C D} 、 \overline{C E}<\overline{A E} 、 \overline{A F}<\overline{B F}, D^{\prime} 、 E^{\prime} 、 F^{\prime}$ 分別為 $D$ 、 $E 、 F$ 所對應之面積平分點， $\overline{D D^{\prime}}$ 與 $\overline{F F^{\prime}}$ 相交於 $S 、 \overline{D D^{\prime}}$ 與 $\overline{E E^{\prime}}$ 相交於 $T 、 \overline{E E^{\prime}}$ 與 $\overline{F F^{\prime}}$ 相交於 $U$, 則 $\displaystyle \frac{\mathrm{~ 四邊形 AFSD ' 面積 + 四邊形 BDTE' 面積 + 四邊形 CEUF' 面積-\triangle STU 面積} }{\triangle STU 面積}=?$ 

 5. 

若正整數 $n$ 可寫成 $2^{k}$, 其中 $k$ 為正整數或零, 則稱 $n$ 是 2 的幂次。例如 $1,2,4,8, \cdots$ 等都是 $2$ 的冪次。試證 :

 (1)若 $n$ 是 2 的冪次, 則 $n$ 無法寫成兩個或兩個以上的連續正整數之和。$(4\%)$ 

 (2)若 $n$ 不是 2 的冪次, 則 $n$ 可寫成兩個或兩個以上的連績正整数之和 $(12 \%)$ 

 6. 

多項式 $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$, 定義： $e_{0}(f(x))=1$ 、 $e_{1}(f(x))=\alpha+\beta+\gamma($ 即 $f(x)=0$ 的三根之和 $)$ 、 $e_{2}(f(x))=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha($ 即 $f(x)=0$ 的三根任取兩個乘積不重複之和 $)$ 、 $e_{3}(f(x))=\alpha \beta \gamma \quad($ 即 $f(x)=0$ 的三根任取三個乘積不重複之和 $)$ 、 $p_{n}(f(x))=\alpha^{n}+\beta^{n}+\gamma^{n}$ (即 $f(x)=0$ 的三根各別 $n$ 次方之和,$n$ 為自然數) 。 故 $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^{3}-e_{1}(f(x)) x^{2}+e_{2}(f(x)) x-e_{3}(f(x))$ 

(1) 試証： $2 \cdot e_{2}(f(x))=e_{1}(f(x)) \cdot p_{1}(f(x))-e_{0}(f(x)) \cdot p_{2}(f(x))$$。(2 \%)$ 

(2)利用 $\left\{\begin{array}{l}f(\alpha)=\alpha^{3}-e_{1}(f(x)) \alpha^{2}+e_{2}(f(x)) \alpha-e_{3}(f(x))=0 \\ f(\beta)=\beta^{3}-e_{1}(f(x)) \beta^{2}+e_{2}(f(x)) \beta-e_{3}(f(x))=0 \\ f(\gamma)=\gamma^{3}-e_{1}(f(x)) \gamma^{2}+e_{2}(f(x)) \gamma-e_{3}(f(x))=0\end{array}\right.$, 証明: $3 e_{3}(f(x))=e_{2}(f(x)) \cdot p_{1}(f(x))-e_{1}(f(x)) \cdot p_{2}(f(x))+e_{0}(f(x)) \cdot p_{3}(f(x))$$。(3 \%)$ 

 (3)若 $p_{1}(f(x))=\alpha+\beta+\gamma=1 、 p_{2}(f(x))=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=2 、 p_{3}(f(x))=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=3$, $p_{4}(g(x))=p_{4}(f(x))=\alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}$ 之值 $\circ(7 \%)$ (2)利用 $(1) 、(2) 、(1)$ 及 $h(x)=x^{2}(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$, 求出 $p_{5}(h(x))=p_{5}(f(x))=\alpha^{5}+\beta^{5}+\gamma^{5}$ 之值 $。(8 \%)$