建國中學科學班109年數學能力試題

建 

臺北市立建國高級中學 $109$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定 

 【數學能力檢定】試題卷 

 一、多重選擇題：每題 $7$ 分，共 $14$ 分。

答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。 

 

說明：

 (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 7 分，只答錯一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。

 (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $」$ 

 1. 大雄使用電腦做中文打字練習，在 $26$ 分鐘內，連續打了 $3815$ 個字，已知他第一分鐘打了 $112$ 個字，最後一分鐘打了 $98$ 個字，如果計算他每一分鐘所打的字數，請選出正確的選項。 

 (1) 必有連續的 $2$ 分鐘打了至少 $301$ 個字 

 (2) 必有連續的 $3$ 分鐘打了至少 $451$ 個字 

 (3) 必有連續的 $4$ 分鐘打了至少 $600$ 個字 

 (4) 必有連續的 $6$ 分鐘打了至少 $902$ 個字 

 (5) 必有連續的 $8$ 分鐘打了至少 $1202$ 個字 

 2. 如圖 (參考用圖，末必精準圖形)，已知圓 $\Gamma$ 是以點 $O$ 為圓心且半徑為 $6$ 的圓，線段 $\overline{A B}$ 與圓 $\Gamma$ 交於點 $C 、 D$，線段 $\overline{O B}$ 與圓 $\Gamma$ 交於點 $E$，設 $\overline{O A}=x，\overline{C D}=y$， 若 $\overline{A C}=9，\angle B O D=\angle O A B$，請選出正確的選項。 

 (1) $\triangle O B D$ 與 $\triangle A O C$ 相似 

 (2) $\overline{B D}=5$ 

 (3) $\displaystyle y=\frac{1}{8} x^{2}-13$ 

 (4) $x$ 可能為 $11$ 

 (5) 若 $\overline{C E}$ 與 $\overline{O D}$ 垂直，則 $\displaystyle x>\frac{23}{2}$ 

二、填充題：每題 $7$ 分，共 $14$ 分。

答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。 

 1. 函數 $f(n)$ 為正整數 $n$ 之各位數的數字平方和, 且定義 : $f_{1}(n)=f(n)， f_{k+1}(n)=f\left(f_{k}(n)\right)$，其中 $k$ 為任意正整數，例如 : $f_{2}(123)=f\left(f_{1}(123)\right)=f(14)=1^{2}+4^{2}=17$ ，則 $f_{201}(25)$ 之值為？

 2. 已知 $x, y$ 均為正整數，則滿足 $1 \leq y \leq x \leq 50$ 且 $x y$ 是 $15$ 的倍數的數對 $(x, y)$ 共有幾組？ 

3. 已知 $k, c$ 為實數, 抛物線 $y=x^{2}$ 與直線 $y=(2 k-1) x+c$ 交於點 $(\alpha, p) 、(\beta, q)$， 且 $\alpha^{2}+\beta^{2}=k^{2}+2 k-3$，則 $c$之最大值為？

 4. 已知正整數 $x, y$ ，滿足 $y=\sqrt{x-56}+\sqrt{x+40}$， 若當 $x=a$ 時，$y$ 有最大值 $M$，則數對 $(a, M)$ 為 ？ 

5. 如圖 (參考用圖, 末必精準圖形)，在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overline{A B}=7，\overline{B C}=6，\overline{C A}=5，\overline{A D}$ 為 $\angle B A C$ 的角平分線，以 $\overline{A D}$ 為弦作一圓與 $\overline{B C}$ 相切，且與 $\overline{A B} 、 \overline{A C}$ 分別交於點 $M 、 N， \overline{A D}$ 與 $\overline{M N}$ 交於 點 $P$，則 $\overline{M P}$ 之長度為？

 6. 將一些邊長為 1 的小正立方體拼成一個邊(稜)長為 $n$ ( $n$ 為正整數)的大正立方體，再將此大正立方體的其中至少 $4$ 個面都染成紅色，然後將大正立方體拆為原來的小正立方體, 發現有 $1073$ 塊小正立方體有被染了紅色，則 $n$ 之值為？ 

 三、計算證明題：本大題共有三題計算證明題，必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末，共 $44$ 分。 

 1. 已知正整數 $a, b$ 使得 $\displaystyle 2\left(\sqrt{\frac{21}{a}}+\sqrt{\frac{21}{b}}\right)$ 為整數，則

 (1) 求 $\displaystyle 2\left(\sqrt{\frac{21}{a}}+\sqrt{\frac{21}{b}}\right)$ 的最大值。 $(6$ 分 $)$ 

 

(2) 求所有滿足條件的數對 $(a, b) 。(9$ 分) 

 2. 如圖 (參考用圖，末必精準圖形)，已知非等腰三角形 $\triangle A B C$ 的外心、內心分別為 $O 、 I$，設 $\angle B A C=\alpha，\angle C B A=\beta，\angle A C B=\gamma，\angle A C B$ 的角平分線與 $\triangle A B C$ 的外接圓交於點 $D$ ，且線段 $\overline{O I}$ 的中垂線經過點 $D$。

 (1) 證明: $\overline{D I}=\overline{D B} 。(5 分)$ 

 (2) 證明: $O,I,B,A$ 四點共圓。$(4分)$ 

 (3) 證明: $\gamma-\alpha=\beta-\gamma 。(6 分)$ 

 3. 設二次函數 $f(x)=x^{2}+a x+b$ (其中 $a, b$ 為實數)，已知不等式 $|f(x)| \leq\left|2 x^{2}+6 x-10\right|$ 對任意實數 $x$ 均成立，定義數列 $\left\langle a_{n}\right\rangle$ 和 $\left\langle b_{n}\right\rangle$ 為 $: \displaystyle a_{1}=\frac{1}{3}，3 a_{n}=f\left(a_{n-1}\right)+5($ 其 中 $n=2,3,4, \cdots)，\displaystyle b_{n}=\frac{1}{3+a_{n}}$ (其 中 $n=1,2,3, \cdots$ )， 數列 $\left\langle b_{n}\right\rangle$ 的前 $n$ 項和記為 $S_{n}$ ，其前 $n$ 項 的乘積記為 $P_{n}$ 。

 (1) 求 $a$ 與 $b$ 之值。($5$ 分) 

 (2) 求 $S_{n}$ 與 $a_{n+1}$ 的關係式。($5$ 分) (3) 證明：對任意正整數 $n，3^{n+1} P_{n}+S_{n}$ 為定值。($4$ 分)