建國中學科學班108年數學能力試卷(檔案有問題)

建  臺北市立建國高級中學 108學年度科學班甄選入學科學能力檢定 

 一、多重選擇題：每題 7 分，共 14 分。(答案須依題號寫在答案卷上, 否則不予計分) 

 說明： 

 (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 7 分, 只答錯一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。

 (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 ${ }^{\circ}$ 

 1. 設 2 到 48 的連續 24 個偶數之乘積為 $a，1$ 到 47 的連續 24 個奇數之乘積為 $b$，且 $\displaystyle x=\frac{b}{a}$ 。 已知 $x$ 可化簡成 $\displaystyle \frac{d}{c}$，其中 $c, d$ 均為正整數且 $c, d$ 互質；另知 $\sqrt{x}$ 可化簡成 $\displaystyle \frac{n}{m} \sqrt{p} ，$ 其中 $m, n, p$ 均為正整數, $m, n$ 互質且 $m, p$ 互質。請選出正確的選項。

 (1) $a$ 有 9 個質因數

 (2) $3^{22}$ 是 $b$ 的因數

 (3) $d$ 有 9 個質因數

 (4) $2^{23}$ 是 $m$ 的因數

 (5) $n=15$ 

 2. 如圖 (參考用圖, 不是精準圖形)，已知 $\overline{A B}$ 為圓的直徑， $O$ 為其圓心，且半徑為 $1 \circ M$ 為圓上一定點，且 $\angle A O M=90^{\circ}$，$C$ 是在上半圓上移動的點，連接 $A 、 C$ 兩點並延長至 $P$ 點 ， 使得 $\overline{C P}=\overline{C B}$ 。請選出正確的選項。 

 (1) 若 $C \neq B$ 且 $C \neq M$, 則 $\angle B C M$ 的度數只有兩個可能值 

 (2) 當 $C$ 點移動時, $P$ 點跟著移動所產生的軌跡在某一個固定的圓上 

 (3) $\triangle M B P$ 為等腰三角形 

 (4) $\overline{A P}$ 的最大值為 2

 (5) 當 $C$ 點由 $B$ 移動到 $A$ 時, $P$ 點跟著移動所產生的軌跡長度為 $\sqrt{2} \pi$ 

 二、填充題: 每題 6 分，共 42 分。(答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分) 

 1. 已知圓 $C$ 同時與兩坐標軸相切，且其半徑是正整數，若圓 $C$ 通過點 $(1, k+2019)$，則最小的正整數 $k$ 為 

 2. 若三質數 $a, b, c$ 之乘積為其和的 107 倍，且 $a \geq b \geq c$, 則數對 $(a, b, c)=$ 

 3. 已知 $n$ 是正整數且 $x=77777 \times n$，若 $x$ 的每一位數字全都是 1 ，則 $n$ 的最小值是？位數 。 

 4. 設 $\operatorname{Min}(a, b, c, d)$ 表示四個賽數 $a, b, c, d$ 中取其最小的數。例如： $\operatorname{Min}(\sqrt{2},-1,0,-1)=-1 。$ 設函數 $f(x)=\operatorname{Min}\left(x^{2}, 3 x, x+2,-2 x+12\right)$ ，其中 $x$ 為實數。例如 : $f(-1)=\operatorname{Min}(1,-3,1,14)=-3$ 。 則 $f(x)$ 的最大值為 

5．每年年底職業網球協會（ATP）在倫敦舉辦一項盛事一年終網球錦標賽 ( The ATP Finals)，每個分組有 4 名選手，每兩人比賽一場並分出勝負，2018 年其中一個分組的戰績表如下：

選手戰績	總戰績	A選手	B選手	C選手	D選手
A選手戰績	2勝1敗	..	勝	勝	敗
B選手戰績	2勝一敗	敗	..	勝	勝
C選手戰績	勝2敗	敗	敗	..	勝
D選手戰績	1勝2敗	勝	敗	敗	..

從這個表格可看出: $A$ 擊敗 $B$ 、且 $B$ 擊敗 $D$ 、而 $D$ 擊敗 $A$, 我們將這種情況稱為「三人迴圈」。 試問這 4 名選手在所有可能的對戰結果中(上方的戰績表即為其中一種對戰結果，每種結果都對應六場比賽且沒有和局 ), 某 3 名選手會出現三人迴圈的戰績表有幾種？

 6. 如圖 (參考用圖, 不是精準圖形)，已知在長方體 $A B C D-E F G H$ 中， $\overline{A B}=12 、 \overline{B F}=9 、 \overline{A D}=5$ 。若 $P$ 點在 $\overline{D G}$ 上移動且 $Q$ 點在 $\overline{G H}$ 上移動，則 $\overline{A P}+\overline{P Q}$ 的最小值為 

7. 如圖 (參考用圖，不是精準圖形)，$\triangle A B C$ 中, $\overline{A B}=18$ 且 $\overline{A C}=15，E$ 點在 $\overline{A C}$ 邊上滿足 $\overline{A E}=7， F$ 點在 $\overline{A B}$ 邊上滿足 $\overline{A F}=8$ 。設 $\overline{B E}$ 與 $\overline{C F}$ 交 於 $P$ 點 ，若 $A 、 E 、 P 、 F$ 四點共圓，則 $\overline{B C}$ 的長度為？ 

三、計算證明題: 本大題共有三題計算證明題，必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末，共 44 分。

 1. 已知三角形的各個頂點向其對邊所作的三條垂線恰交一點，此點稱為三角形的垂心。 若 $H$ 是等腰三角形 $A B C$ 的垂心，其中 $\overline{A B}=\overline{A C}$ 且 $\overline{B C}=\sqrt{12} 。$ 令 $\triangle A B C$ 的面積為 $a$ 與 $\triangle H B C$ 的面 積為 $h$，現在讓頂點 $A$ 到底邊 $\overline{B C}$ 的距離變小，這時 $\triangle A B C$ 與 $\triangle H B C$ 的面積乘積 $a \times h$ 之值是變小，變大，還是不變？若不變，則值為多少？(15 分) 說明：以下僅提供 $A$ 點移動過程中的兩種情形。左圖為角 $A$ 為銳角的情形，右圖為角 $A$ 為鈍角的情形。(均為參考用圖, 不是精準圖形) 

 2. 已知 $n$ 是正整數且 $2 n+1$ 為質數。證明： $1^{2} 、 2^{2} 、 3^{2} 、 \cdots 、 n^{2}$ 被 $2 n+1$ 除所得的餘數皆不相同。 $(15$ 分) 

3. (1) 因式分解 $a^{4}+b^{4}+c^{4}-2 a^{2} b^{2}-2 b^{2} c^{2}-2 c^{2} a^{2}$ 。(7 分)

 (2) 若三正數 $x, y, z$ 滿足 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x y-2 y z-2 z x<0 span="" sqrt="" x="" y="" z="">