建國中學科學班107年數學檢定試題

建 臺北市立建國高級中學 107 學年度科學班甄選入學科學能力檢定 

 【數學能力檢定】試題卷

 一、多重選擇題：每題 7 分, 共 14 分。(答案須依題號寫在答案卷上, 否則不予計分) 

 說明： 

 (1) 每題的五個選項各自獨立, 其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣, 五個選項全部答對者得 7 分，只答錯一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。 

 (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項。 

 1. 坐標平面上有 $4$ 條直線圍成一正方形，方程式分別為 $x=2 、 x=3 、 y=4 、 y=5$，在通過正方形的四個頂點取平行 $y=x$ 的相異直線三條、平行 $y=-x$ 的相異直線三條。如圖，觀察圖中線段所圍成的三角形，請選出正確的選項。 

 (1) 面積為 $\frac{1}{2}$ 的三角形有 $12$ 個。 

 (2) 面積為 $1$ 的三角形有 $8$ 個。 

 (3) 所有的三角形中面積最大者為 $2$ 。 

 (4) 共可圍成 $44$ 個三角形。 

 (5) 共可圍成 $4$ 種不同面積的三角形。

 2. 如圖 (參考用圖，不是精準圖形), 在矩形 $A B C D$ 中, $\overline{A B}=6$ 公分, $\overline{B C}=8$ 公分, 對角線 $\overline{A C}$ 與 $\overline{B D}$ 交於點 $O$ 。設運動時間為 $t$ 秒， 且 $0 \leq t \leq 6$ 。當 $t=0$ 時，動點 $X$ 由 $A$ 點出發沿 $\overline{A D}$ 走向 $D$ 點，同時，動點 $Y$ 從 $D$ 點出發沿 $\overline{D C}$ 走向 $C$ 點， 速度皆為每秒 $1$ 公分。在 $Y$ 點移動時，同時過 $Y$ 點作 $\overline{Y F} / / \overline{A C}$ 交 $\overline{B D}$ 於點 $F$ 。請選出正確的選項。

 (1) $\triangle A O X$ 不可能為正三角形。 

 (2) 若 $\triangle A O X$ 為等腰三角，則 $t=5$ 。 

 (3) 在運動過程中，當 $\overline{O D}$ 平分 $\angle C O X$ 時， $\displaystyle t=\frac{112}{39}$ 。 

 (4) 在運動過程中， $\displaystyle \overline{Y F}=\frac{6}{5} t$ 公分。 

 (5) 當 $t=3$ 時, 梯形 $Y F O C$ 的面積為 $9$ 平方公分。

1. 設 $k$ 為實數，若 $\alpha 、 \beta$ 為方程式 $x^{2}-(k+3) x+\left(k^{2}-10\right)=0$ 的兩相異實根，且 $(\alpha-1)(\beta-1)=8$，則 實數 $k$ 的值為？ 

 2. 已知 $a 、 b$ 為整數且 $\displaystyle b>0 ，$ 若 $(a+b) 、(a-b) 、 a b 、 \frac{a}{b}$ 四數之和為 $90$ , 則數對 $(a, b)=$ 

 3. 如圖 (參考用圖，不是精準圖形)，已知 $\triangle A B C$ 面積為 $2$，點 $D 、 E 、 F$ 分別在 $\overline{B C} 、 \overline{C A} 、 \overline{A B}$ 上， $\overline{B D}=2 \overline{D C}， \overline{C E}=2 \overline{E A}，\overline{A F}=2 \overline{F B}$，又 $\overline{A D} 、 \overline{B E} 、 \overline{C F}$ 兩兩相交，且交點分別為點 $P 、 Q 、 R$，則 $\triangle P Q R$ 的面積為？

 4. 將英文字母 $A 、 B 、 C 、 D$ 填入下列編號 $1 \sim 7$ 的區域， 若每個區域只能填入一個英文字母 $(A 、 B$ 、 $C 、 D$ 不一定全部都用上），且同樣的英文字母不能在「相鄰」的區域，則填法共有幾種。 (兩區域「相鄰」表示共用至少一個邊，例如：$1$號與 $4$ 號區域相鄰，但 $1$ 號與 $3$ 號區域不相鄰)

 5. 已知正整數 $x 、 y$ 滿足 $x^{2} y^{2}+x^{2}+y^{2}-42 x y+383=0$，且 $x>y$, 則數對 $(x, y)$ 為？ 

 6. 設 $a$ 為實數且洏足 $\sqrt{a^{2}+2}+\sqrt{2 a+5}=3-a$, 則 $a$ 的值為？ 

 三、計算證明題：

本大題共有三題計算證明題，必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末，共 44 分。

 1. 有八個整數分別是 $-7 、-5 、-3 、-2 、 2 、 4 、 6 、 13$, 將它們排列為 $a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 、 g 、 h$, 則 $(a+b+c+d)^{2}+(e+f+g+h)^{2}$ 的最小值為何 ? (14 分) 

 2. 有一等腰三角形 $A B C$，其中頂角 $\angle A$ 為 $20^{\circ}， \overline{A B}=1$， 作 $\angle B$ 的分角線交 $\overline{A C}$ 於 $E$，再作 $\angle E B C$ 分角線交 $\overline{A C}$ 於 $D 、 \angle A B E$ 分角線交 $\overline{A C}$ 於 $F$，請證明 : $\overline{C F} \cdot \overline{C E}=\overline{C D} \circ(15$ 分) 

3. 如圖 (參考用圖，不是精準圖形)，在銳角三角形 $A B C$ 中，$\overline{A B}>\overline{A C}，M 、 N$ 是 $\overline{B C}$ 邊上不同的兩點，使得 $\angle B A M=\angle C A N$ 。設 $\triangle A B C 、 \triangle A M N$ 的外心分別為 $O_{1} 、 O_{2} 。 \overline{A B} 、 \overline{A C}$ 與 $\triangle A M N$ 的外接圓的交點分別為 $E 、 F$ 。 證明 : (1) $\overline{E F} / / \overline{B C}$ 。(5 分) (2) $O_{1} 、 O_{2} 、 A$ 三點共線。(10 分)