建國中學科學班106年數學能力檢定試卷

建  臺北市立建國高級中學 $106$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定

 【數學能力檢定】試題卷      甄選證號碼 

 

注意事項： 

 1. 測驗時間為 $100$ 分鐘。 

 2. 請核對「答案卷」左上角的號碼與自已的甄選證號碼是否一致，並於本試題卷右上角標 示甄選證號碼。 

 3. 試題卷共 $4$ 頁，可利用空白處計算，但答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。 

 4. 試題卷務必連同答案卷（均請勿書寫姓名）一併繳回。 

 一、多重選擇題：每題 $7$ 分， 共 $14$ 分。 

說明：

 (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對 者得 $7$ 分，只答錯一個選項者可得 $4$ 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作 答者，該題以零分計算

 (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $\lrcorner 。$ 

 1. 已知 $a, b, c, d$ 為四個整數, 滿足 $a \geq b \geq c \geq d， a+b+c+d=0，a d-b c+6=0$，請問下列哪些選項是 正確的? 

 (1) $(a+b)(a+c)=6$ 

 (2) $(a+b)$ 之值可能為 $-2$ 

 (3) $(b-c)$ 的最小值為 $1$ 

 (4) $(a-d)$ 的最大值為 $5$ 

 (5)共有四組序對 $(a, b, c, d)$ 滿足題目的所有條件 

 2. 在坐標平面上，設 $O$ 為原點，已知抛物線 $\Gamma$ 的方程式為 $y=x^{2}+2 x+1$， 直線 $L_{n}$ 的方程式為 $y=\left(2^{n-2}\right) x+5$，其中 $n$ 為正整數, 設拋物線 $\Gamma$ 與直線 $L_{n}$ 交於 $A_{n} 、 B_{n}$ 兩點，過點 $A_{n}$ 對 $x$ 軸作垂直 線交 $X$ 軸於點 $C_{n}$，過點 $B_{n}$ 對 $X$ 軸作垂直線交 $X$ 軸於點$D_{n}$，試問下列哪些選項正確? 

 (1) $\overline{A_{2} B_{2}}=\sqrt{34}$ 

 (2) $\triangle O A_{4} B_{4}$ 面積為 $5 \sqrt{5}$ 

 (3) $\overline{O C_{5}} \times \overline{O D_{5}}=4$ 

 (4) $4\left(\overline{A_{2016} C_{2016}}+\overline{B_{2016} D_{2016}}\right)>\overline{A_{2017} C_{2017}}+\overline{B_{2017} D_{2017}}$ 

 (5) 考慮 $n$ 為任意正整數，$\triangle O A_{n} B_{n}$ 面積的最小值為 $8$ 

 二、填充題：每題 $7$ 分， 共 $42$ 分。 

 1. 已知 $x, y$ 皆為正整數，滿足方程式 $x^{2}=y^{2}\left(x+y^{4}+2 y^{2}\right)$，試求數對 $(x, y)=$？ 

 

2. 如圖（只是參考用圖， 不是精準的圖形），已知 $L 、 M$ $N$ 為三條兩兩互相平行之直線，設 $L 、 M$ 之距離為 $d_{1}$，$M 、 N$ 之距離為 $d_{2}$ ，滿足 $2 d_{1}=3 d_{2}$ 。今在 $L 、 M 、 N$ 三 條直線上各找一點 $A 、 B 、 C$ ，使得 $\angle A B C=90^{\circ}$ ，$2 \overline{A B}=\overline{B C}$ ，若 $\overline{A C}$ 與直線 $M$ 相交於點 $P$ ，已知 $\overline{B P}$ 之長為 $20$ ，則 $\triangle A B C$ 之面積為？ 

 3. 設正整數 $a$ 用十進位表示時是一個十位數，且每一位數字都是 $0$ 或 $1$ , 但首位數字不是 $0$ (註)， 已知 $a$ 是 $11$ 的倍數, 試問有__個正整數 $a$ 滿足題目的條件。 (註)例如： $a=1100000000$ 滿足題意, 但是 $a=0110000000$ 不滿足題意，因為它的首位數字是 $0$ 。 

 4. 已知 $a, b, k$ 均為正整數，若 $5 a+12 b, 12 a+5 b$ 為一直角三角形的兩股長，而 $13 a+k b$ 為其斜邊長， 則在所有可能的情形當中 ，試問 $a+b+k$ 的最小值為？ 

5. 將 $1,2,3,4,5,6,7$ 這七個正整數填入右方圖形的七個區域 ( $A, B, C, D, E, F, G)$ 中，其中每個區域恰填入一個數字且這七個正整數都恰用一次，並且對於「相鄰」(註) 的兩個區域中所填入的數字差距必須不小於 $2$，試問 有_種的填法。 (註)：「相鄰」的意義是指這兩個區域共用至少一個邊，例如：區域 $A$ 與區域 B 是相鄰的兩個區域，區域 $B$ 與區域 $C$ 是相鄰的兩個區域；區域 $\mathrm{A}$ 與區域 $\mathrm{D}$ 是不相鄰的兩個區域，區域 $B$ 與區域 $\mathrm{E}$ 是不相鄰的兩個區域。 

 6. 設< $a_n$ > 為等差數列, 其中 $a_{5}=1$ 且公差 $d>0$, 已知 $$ \frac{1}{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}}+\frac{1}{a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4}}+\frac{1}{a_{3} \cdot a_{4} \cdot a_{5}}+\frac{1}{a_{4} \cdot a_{5} \cdot a_{6}}+\frac{1}{a_{5} \cdot a_{6} \cdot a_{7}}+\frac{1}{a_{6} \cdot a_{7} \cdot a_{8}}+\frac{1}{a_{7} \cdot a_{8} \cdot a_{9}}=7, $$ 試問公差 $d$ 之值為 

 三、計算證明題: 本大題共有三題計算證明題，必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末，共 $44$ 分。 

 1. 有一個圓通過矩形 $A B C D$ 的 $C$ 點，且與矩形的兩邊 $\overline{A B}, \overline{A D}$ 分別切於 $M, N$ 兩點，若 $C$ 點到 $\overline{M N}$ 的垂直距離為 45，試回答下列各小題： 

 (1) 比較 $\angle C M N$ 與 $\angle C N D$ 的角度大小$(3 分)$ 

 (2) 求矩形 $A B C D$ 的面積為多少?$(11 分)$ 

 2. 設 $a, b$ 皆為正整數，設 $x_{1}, x_{2}$ 為方程式 $x^{2}-2 a x+b=0$ 的兩根 ，$ x_{3}, x_{4}$ 為方程式 $x^{2}-b x+2 a=0$ 的兩根，已知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 都是正整數，試回答下列各小題 : 

 (1) 試證: $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}-x_{1} x_{3}-x_{1} x_{4}-x_{2} x_{3}-x_{2} x_{4}=0$$(3 分)$ 

 (2)試求所有可能的數對 $(a, b)$ 。$(12分) $ 

3. 如圖，線段 $\overline{B C}$ 為圓 $O$ 的直徑，而 $A$ 點為圓外一點且 $\overline{A D}$ 為圓 $O$ 的切線，在線段 $\overline{A B}$ 上取一點 $E$，使得$\overline{A E} = \overline{A D}$ ，現過 $B$ 點作 $\overline{C E}$ 的平行線交直線 $\overleftrightarrow{A C}$ 於 $F$ 點，連接 $\overline{E F}$，試證: $\overline{E F} \perp \overline{A B}$ 。 $(15分)$