建國中學科學班105年數學能力檢定試卷(有問題，有空再處理)

臺北市立建國高級中學 105 學年度科學班甄選入學科學能力檢定 

 【數學能力檢定試題卷】 甄選證號碼 

 注意事項 : 測驗時間為 100 分鐘。 請核對答案卷號與甄選證號碼是否相同，並於本試題卷右上角標示甄選證號碼。

 試題卷共 4 頁，可利用空白處計算，但答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。

 試題卷務必連同答案卷（均請勿書寫姓名）一併繳回。 

  一、多重選擇題: 每題 7 分, 共 14 分 。 

 說明 : 

  (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對 者得 7 分, 只答错一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。

  (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 ${ }^{\circ}$ 

  1. 設二次函數 $f(x)=a x^{2}+b x+c$ 的係數均為整數且 $f(1)<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x="">0$ 若方程式 $f(x)=0$ 在 $1<x<2$ 範圍内有兩個不同的根。請選出正確的選項:

(1) $a<0$

(2) $4 a+2 b+c \leq-1$

(3) $4 a+b>0$

(4) $c$ 的值可能為 $-1$

(5) $a$ 的最大值為 $-5$

2. 已知正方形 $A B C D$ 的邊長 1 公分, 矩形 $E F G H$ 的邊 $\overline{F G} 、 \overline{G H}$ 長 度分別為 8 公分、 6 公分。正方形 $A B C D$ 的邊 $\overline{A D}$ 在矩形 $E F G H$ 的邊 $\overline{F G}$ 上，將正方形 $A B C D$ 以每秒 1 公分等速度地沿 $\overline{F G}$ 方向 移動，移動開始前 $A$ 點與 $F$ 點重合，連接 $C G$, 過 $A$ 點作 $\overline{C G}$ 的 平行線交 $\overline{G H}$ 於 $P$ 點。設正方形移動時間為 $x$ 秒時， $\overline{G P}$ 的長度 為 $y$ 公分，請選出正確的選項:

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x="">

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x="">

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x=""> (1) 若滿足題意 $「$ 過 $A$ 點作 $\overline{C G}$ 的平行線交線段 $\overline{G H}$ 於 $P$ 點 $」$, 則 $x$ 的範圍是 $0 \leq x<7 1.="" 1="" 2.="" 3.="" 4.="" 41="" 5.="" 6.="" 7.="" 7="" a="" angle="" b="" bdaa1ba407b06a94c3g-2.jpg="" c="" cdn.mathpix.com="" cropped="" d="" e="" f="" frac="" g="" height="252&width=338&top_left_y=873&top_left_x=972)" https:="" k="" n="" o="" overline="" p="" pi="" sim="" sqrt="" triangle="" x="" y="">1$，

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x=""><7 1.="" 1="" 2.="" 3.="" 4.="" 41="" 5.="" 6.="" 7.="" 7="" a="" angle="" b="" bdaa1ba407b06a94c3g-2.jpg="" c="" cdn.mathpix.com="" cropped="" d="" e="" f="" frac="" g="" height="252&width=338&top_left_y=873&top_left_x=972)" https:="" k="" n="" o="" overline="" p="" pi="" sim="" sqrt="" triangle="" x="" y="">

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x=""><7 1.="" 1="" 2.="" 3.="" 4.="" 41="" 5.="" 6.="" 7.="" 7="" a="" angle="" b="" bdaa1ba407b06a94c3g-2.jpg="" c="" cdn.mathpix.com="" cropped="" d="" e="" f="" frac="" g="" height="252&width=338&top_left_y=873&top_left_x=972)" https:="" k="" n="" o="" overline="" p="" pi="" sim="" sqrt="" triangle="" x="" y="">將 $1+a, 1+a^{2}, 1+a^{3}, \ldots \ldots, 1+a^{2016}$ 等 2016 個數寫在黑板上（其中 $a$ 的次方是 從 $1 \sim 2016$ 連續的正整數）。現在某人擦去一些數字後，使得剩下的數字任兩數都互質，試問最後黒板上最多可以剩下幾個數字? 

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x=""><7 1.="" 1="" 2.="" 3.="" 4.="" 41="" 5.="" 6.="" 7.="" 7="" a="" angle="" b="" bdaa1ba407b06a94c3g-2.jpg="" c="" cdn.mathpix.com="" cropped="" d="" e="" f="" frac="" g="" height="252&width=338&top_left_y=873&top_left_x=972)" https:="" k="" n="" o="" overline="" p="" pi="" sim="" sqrt="" triangle="" x="" y="">

<0 a="" b="" c="" f="" leq-1="" x=""><7 1.="" 1="" 2.="" 3.="" 4.="" 41="" 5.="" 6.="" 7.="" 7="" a="" angle="" b="" bdaa1ba407b06a94c3g-2.jpg="" c="" cdn.mathpix.com="" cropped="" d="" e="" f="" frac="" g="" height="252&width=338&top_left_y=873&top_left_x=972)" https:="" k="" n="" o="" overline="" p="" pi="" sim="" sqrt="" triangle="" x="" y=""> 三、計算證明題：本大題共有三題計算證明題，必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末，共 44 分。 

 1. 如右圖，已知菱形 $A B C D$ 的邊長為 $1，\angle A D C=60^{\circ}$，點 $E 、 F$ 分 別是 $\overline{D C} 、 \overline{C B}$ 上的一點, 而且 $\triangle A E F$ 是一個正三角形。

 (1) 如右圖，若 $E 、 F$ 兩點分別是 $\overline{D C} 、 \overline{C B}$ 的中點，證明：菱形 $A B C D$ 的兩對角線 $\overline{A C}$ 與 $\overline{B D}$ 的交點 $O$ 是 $\triangle A E F$ 的外心 (外接圆 圆心 $)$ 。(4 分)

 (2) 如右圖, 設正 $\triangle A E F$ 的外心為點 $P$， 試猜想：當點 $E 、 F$ 分別 在 $\overline{D C} 、 \overline{C B}$ 上移動時, 外心 $P$ 的乹跡是否會在某一條直線上? 若是的話，請劃出那一條直線，並加以證明；若不是，請說明理由。(6分) 

 (3) 承上題 (2)，如右圖，當正 $\triangle A E F$ 的面積最小時，過外心 $P$ 點任意作一條直線分別交 $\overline{D A}$ 於 $M$ 點，交 $\overline{D C}$ 的延長線於 $N$ 點 ， 證明: $\frac{1}{\overline{D M}}+\frac{1}{\overline{D N}}$ 是一個定值。(6 分) 

 2. 如右圖，相交於 $M 、 N$ 兩點的兩圆，圓心分別是 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ ，若蒷 $O_{1}$ 過 $N$ 點的切線 $L_{1}$ 與圓 $O_{2}$ 交於 $D$ 點，而 蒷 $O_{2}$ 過 $N$ 點的切線 $L_{2}$ 與圓 $O_{1}$ 交於 $B$ 點。設 $A$ 點是 圓 $O_{1}$ 上的一點，直線 $A N$ 與圓 $O_{2}$ 交於 $C$ 點。假設 $\triangle A B N$ 的內心 是 $I_{1}, \triangle C N D$ 的內心 是 $I_{2}$ (三角形的 內心是指其三個內角角平分線的交點），試證明 : 

 (1) $\triangle A B N$ 與 $\triangle C N D$ 相似 (4 分) 

 (2) $\triangle B M N$ 與 $\triangle N M D$ 相似 (4 分) 

 (3) $\angle I_{1} M I_{2}=\angle O_{1} M O_{2}$ ( 8 分 )。

 3. (1) 請找出所有的正整數組 $(a, b)$，滿足 $a^{2}-b^{2}=107 \circ(2$ 分 ) (2) 女女果「從任意 $n$ 個 $(n \geq 2)$ 相異正整數中, 必能找到相異兩數 $a, b$, 使得 $a^{2}-b^{2}$ 是 107 的倍數 $\lrcorner$, 試求淪足這個敘述的最小整數 $n \circ(10$ 分) （說明：任意 3 個相異正整數, 我們不一定能從中找到兩數 $a, b$，使得 $a^{2}-b^{2}$ 是 107 的倍數，因此當 $n=3$ 時, 不滿足這個敘述)