嘉 嘉義高中 103 學年度科學班一數學科能力檢定試題
填充題 (每題 $5$ 分, 共 $100$ 分)
1 如右圖，$\overline{\mathrm{OC}}$ 是圓 $\mathrm{O}$ 的半徑，$\mathrm{O}$ 點是圓心，弦 $\overline{\mathrm{BD}}$ 與 $\overline{\mathrm{OC}}$ 交於 $\mathrm{E}$ 點。已知 $\overline{\mathrm{DE}}=3， \overline{\mathrm{BE}}=5$，$\overline{\mathrm{CE}}=1$， 求 $\overline{\mathrm{OE}}$ 的長。
2 已知 $x^{2}+a x+8=0$ 和 $x^{2}+8 x+a=0$ 至少有一相同的根，求所有可能的 $\mathrm{a}$ 值。【兩個解】
3 求絕對值方程式 $|x+3|-|x-1|=x+1$ 的解。【所有可能解都寫出才給分】
4 如右圖，$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}>\angle \mathrm{ABC}>\angle \mathrm{C}, \overline{\mathrm{AD}} \perp \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{BF}} \perp \overline{\mathrm{CA}}$
$\overline{\mathrm{BG}}$ 平分 $\angle \mathrm{ABC}， \overline{\mathrm{AE}}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,若 $\angle \mathrm{DAE}=8^{\circ}，\angle \mathrm{FBG}=16^{\circ}$，求 $\angle \mathrm{C}$ 的度數。
5 在坐標平面上，一正方形之兩個頂點坐標 $\mathrm{A}(\sqrt{6}-\sqrt{5}, 0) 、 \mathrm{~B}(0, \mathrm{t})(\mathrm{t}>0)$, 另兩個頂點都在第一象限，若這四個頂點的 $\mathrm{x}$ 坐標和 $\mathrm{y}$ 坐標之總和為 $8$ ，求 $\mathrm{t}$ 的值。
6 如右圖， $\triangle \mathrm{ABC}$ 是直角三角形， $\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}， \overline{\mathrm{AB}}<\overline{\mathrm{AC}}$，四邊形 $\mathrm{BCDE}$ 為正方形，$\overline{\mathrm{AJ}}$ 與 $\overline{\mathrm{DE}}$ 垂直於 $\mathrm{J}$ 點且和 $\overline{\mathrm{BC}}$ 交於 $\mathrm{K}$ 點。若矩形 $CDJK$ 的面積為 $18$ ，矩形 $BEJK$ 的 面積為 $12$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面積。
7 如右圖，$\overline{\mathrm{AD}}<\overline{\mathrm{DB}}$, 若 $\overline{\mathrm{AD}}: \overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{BE}}: \overline{\mathrm{EC}}=\overline{\mathrm{CF}}: \overline{\mathrm{FA}}=1: \mathrm{x}$，且 $\Delta \mathrm{ABC}$ 的面積是 $\Delta \mathrm{DEF}$ 面積的 $2$ 倍，求 $\mathrm{x}$ 的值。
8 已知坐標平面上拋物線 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ 與 $\mathrm{x}$ 軸交於 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 兩點, 且 $\overline{\mathrm{AB}}=9$ 。若拋物線 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}+(\mathrm{b}+3)$ 與 $\mathrm{x}$ 軸的兩交 點為 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$, 求 $\overline{\mathrm{CD}}$ 的長。
9 求滿足 $\sqrt{\mathrm{n}+1}-\sqrt{\mathrm{n}}<0.0125$ 的最小正整數 $\mathrm{n}$ 之值。
10 將 $n^{2}$ 元依下列方式分給甲、乙兩人：甲先拿 $10$ 元，乙接著拿 $10$ 元，甲再拿 $10$ 元，乙又接著拿 $10$ 元，如此繼續下去，最後甲拿 $10$ 元，不足 $10$ 元的餘錢全歸乙。求甲比乙多拿到幾元?
11 設 $[x]$ 表示不超過 $\mathrm{x}$ 的最大整數，例如 $[1.8]=1,[-3.4]=-4,[7]=7,[-7]=-7 $。試求整數 $\displaystyle \left[\frac{10^{2014}}{10^{1007}+5}\right]$ 的末尾兩位數字。【先寫十位數字, 後寫個位數字】
12 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\angle \mathrm{A}>\angle \mathrm{B}>\angle \mathrm{C}>\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}$，求 $\angle \mathrm{C}$ 的最大範圍。
13 有濃度不同的 $A、B$ 兩種食鹽水，$\mathrm{A}$ 食鹽水重 200 公克，$\mathrm{B}$ 食鹽水重 300 公克。現從 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 兩種食鹽水中各取 $\mathrm{x}$ 公 克交換，若經混合溶解後兩者溶度變成相同，求 $\mathrm{x}$ 的值。
14 求方程式 $2 x^{2}+3 x+6=7 x \sqrt{x+2}$ 的最大根。
15 試問 $x y z=6$ 的整數解共有幾組 ?
16 如右圖，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{D} 、 \mathrm{G}$ 兩點分別在 $\overline{\mathrm{AB}} 、 \overline{\mathrm{AC}}$ 上, $\mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$ 兩點在 $\overline{\mathrm{BC}}$ 上，且四邊形 $DEFG$ 為正方形。若 $\triangle \mathrm{ADG} 、 \Delta \mathrm{BDE} 、 \Delta \mathrm{CFG}$ 的面積分別為 $3、5、7$，求正方形 $\mathrm{DEFG}$ 的邊長。
17 如右圖，$\mathrm{L}_{1} / / \mathrm{L}_{2} / / \mathrm{L}_{3}$，若 $\mathrm{L}_{1}$ 與 $\mathrm{L}_{2}$ 的距離為 $3, \mathrm{~L}_{2}$ 與 $\mathrm{L}_{3}$ 的距離為 $2$ ，且正三角形 $\mathrm{ABC}$ 的三個頂點分別在 $\mathrm{L}_{1} 、 \mathrm{~L}_{2} 、 \mathrm{~L}_{3}$ 上，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面積。
18 甲、乙、丙人各持有彈珠若千個, 互相贈送程序如下：先由甲給乙、丙人,所給的彈珠個數分別等於乙、原有的彈珠個數；接著由乙給甲、丙兩人，所給的彈珠個數分別等於甲、丙當時所持有的彈珠個數；最後由丙給甲、 乙兩人，所給的彈珠個數分別等於甲、乙當時所持有的彈珠個數。若此時甲、乙、丙三人所持有的彈珠個數比恰為？
19 如右圖，$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \overline{\mathrm{AB}}=12，\overline{\mathrm{AC}}=9$，兩圓半徑一樣大，彼此相切，與直角三角形的邊也相切，求這兩個等圓的半徑長。
20 王先生買了一張樂透彩券, 自 $1$ 到 $42$ 之正整數中選出六個相異號碼, 已知他所選的六個號碼之乘積為 $10^{\mathrm{X}}$，其中 $X$ 是正整數。若頭獎之中獎號碼恰好也是符合此條件的六個號碼，試求王先生中頭獎的機率。
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