嘉義高中科學班102數學測驗試卷

 嘉　嘉義高中 102 學年度科學班第一階段初試 數學成就測驗 試題卷

答題說明：本卷共有填充題 20 題, 每題 5 分; 請將答案按題號填寫於答案卷上

1. 求 $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots-30^{2}+31^{2}$ 之值 $=？$

2. $x 、 y$ 為整數 , 求滿足 $2 x^{2}+y^{2}+8 x+2 y-93=0$ 的 $x 、 y$ 有幾組？

3. 方程式 $\displaystyle x^{2}+3 x-\frac{3}{x^{2}+3 x-7}=9$ 的所有實根之乘積為？

4. 如右圖, $\triangle A B C$ 中, $D$ 在 $\overline{A C}$ 上, $E$ 在 $\overline{A B}$ 上, 且 $\overline{A B}=\overline{A C}$ 、 $\overline{B C}=\overline{B D} 、 \overline{A D}=\overline{D E}=\overline{E B}$, 則 $\angle A=？$

5. 如右圖, $\overline{A D}: \overline{D F}=\overline{B E}: \overline{E D}=\overline{C F}: \overline{F E}=3: 2$, 則 $\triangle A B C$ 與 $\triangle D E F$ 的面積比為？

6. 如右圖, $B 、 C$ 將 $\overline{A D}$ 三等分, $\overline{A B} 、 \overline{B C} 、 \overline{C D}$ 分別是圓 $O 、 N 、 P$ 的直徑， 這三個圓的半徑都是 15 , 設 $\overline{A G}$ 切圓 $P$ 於點 $G$, 且交圓 $N$ 於 $E 、 F$, 貝 $\overline{E F}=？$

7. 某地區足球聯盟數今年較去年多了 $10 \%$ ，其中男性成員增加 $5 \%$ 且女性成員增加 $20 \%$, 試問 今年足球聯盟女性成員所佔的比例為？

8. 將一粒骰子投擲二次出現的點數依次為 $a 、 b$, 做出二次式 $x^{2}-a x+b$, 若 $x^{2}-a x+b$ 可分解為 $(x-p)(x-q), p 、 q$ 為正整數，求其機率為？

9. 小美與小文在一個圓形的跑道上向相反的方向跑，開始兩人分別從圓形跑道直徑的兩端起跑，小美 跑了 100 公尺時他們第一次相遇, 在第一次相遇後，小文跑了 150 公尺時, 他們第二次相遇 ，假設他們跑的速度都分別維持固定不變，試問此圓形跑道的長度是幾公尺？

10. 如右圖, 已知 $\triangle O B E$ 面積為 5, $\triangle O B C$ 面積為 $10, \triangle O C D$ 面積為 8 ， 則四邊形 $A E O D$ 的面積為？

11. 如右圖, 四邊形 $A B C D$ 中, $\overline{A B}=21, \overline{B C}=\overline{C D}=10, \overline{A D}=9$, 已知 $\overline{A C}$ 是 $\angle B A D$ 的角平分線, 則 $\overline{A C}=？$

12. 如右圖, 一次函數 $y=-2 x+3$ 的啚形與 $x 、 y$ 軸分別相交於 $A 、 C$ 兩點，二次函數 $y=x^{2}+b x+c$ 的圖形過點 $C$ 且與一次函數在第二象限交於 另一點 $B$, 若 $\overline{A C}: \overline{C B}=1: 2$, 求這個二次函數的頂點坐標為？

13. 右圖梯形 $A B C D$ 中, $\overline{A D} / / \overline{B C}, \angle B A C=90^{\circ}, \overline{A C}=4, \overline{A B}=3, E 、 F$ 分別為 $\overline{B D} 、 \overline{A C}$ 中點, 若 $\overline{E F}=1$, 則梯形 $A B C D$ 面積為？

14. 已知三個連續偶數的乘積是 $2^{7} \times 3 \times 5^{2} \times 13$, 那麼這三個偶數的總和是？

15. 志明在公共汽車上發現路邊一個小偷往相反方向逃跑，10秒鐘後他下車追小偷，如果他的速度是小偷速度的 3 倍，是公共汽車的 $\displaystyle \frac{1}{5}$ 倍，則志明從下車後追上小偷要幾秒？

16. 如右圖, 在直角 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, \angle B$ 和 $\angle C$ 的角平分線交於 $\mathrm{F}$, 且 分別交對邊於 $D 、 E$, 右 $\overline{A B}=5 、 \overline{A C}=12 、 \overline{B C}=13$, 求四邊形 $\mathrm{BCDE}$ 的面積 $: \triangle B F C$ 的面積比值為？

17. 求 $\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{199^{2}}+\frac{1}{200^{2}}}=$

18. 如右圖, 右正方形 $A B C D$ 的邊長為 2 , 且 $\overline{A E} / / \overline{B D}, \overline{B E}=\overline{B D}$, 則 $\overline{A E}=？$

19. $(1+x)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{81}\right)\left(1+x^{243}\right)=1+b_{1} x^{a_{1}}+b_{2} x^{a_{2}}+b_{3} x^{a_{3}}+\ldots \ldots+b_{63} x^{a_{63}}$, 其中 $a_{1}<a_{2}<a_{3} \ldots . .<a_{63}$, 求 $a_{20}=？$

20. 如右圖,三個兩兩外切的圓，也都跟直線相切，最大圓半徑為 144 , 中圓半徑為 36 , 求最小圓半徑為？