嘉義高中科學班101數學測驗試卷

嘉 嘉義高中 101 學年度科學班成班 第一階段 數學科成就測驗 試題卷 

答題說明:本卷共有填充題 20 題, 每題 5 分；請將答案按題號填寫於答案卷上。

1. 已知一等差數列有 60 項, 前 40 項的和是 40 , 後 40 項的和是 70 , 則首項與末項的和是?

2. 已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 三頂點為 $\mathrm{A}(3,-7), \mathrm{B}(-4,5), \mathrm{C}(7,0)$, 而重心是 $\mathrm{G}$, 求 $\Delta \mathrm{ABG}$ 的面積為?

3.如右圖， $\mathrm{ABCD}$ 為平行四邊形, $\mathrm{M}$ 為 $\overline{\mathrm{BC}}$ 的中點，若 $\overline{\mathrm{AC}} 、 \overline{\mathrm{AM}}$ 分別與 $\overline{\mathrm{BD}}$ 交於點 $\mathrm{E}$ 與 $\mathrm{F}$, 則四邊形 $EFMC$ 與三角形 $\mathrm{ABD}$ 的面積比為?

4. 若 $(x-1)(57 x+2)+(7 x-2)^{2}+(31 x-27)^{2}=a x^{2}+b x+c$, 則 $a+b+c=$

5.試求 $\displaystyle \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \ldots \times 101}{6^{100}}$ (分子為 1 到 101 的連續整數的乘積)化為最簡分數後的分母為?

(以指數型態作答即可)

6. 如右圖 , $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \overline{\mathrm{AD}}=10, \overline{\mathrm{BC}}=30$, 則四邊形 $\mathrm{ABCD}$ 的內切圓半徑為?

7. 跳蟲依下列的規律, 從 1 號位置往順時針方向開始跳動：

(1)如果跳蟲所在的位置是奇數, 那麼它下一次將跳動 1 格, 如由 1 號跳動一下到 2 號；

(2)如果跳蟲所在的位置是偶數, 那麼它下一次將跳動 3 格, 如由 2 號跳動一下到 5 號。 試問: 跳蟲在跳動 $2012$ 下後, 其所在位置的號碼是幾號?

8. 設 $n$ 為自然數, $\displaystyle a=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}, b=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}$, 若 $5 a^{2}+22 a b+5 b^{2}=2012$, 則 $n=$

9.設 $P(n)$ 表示正整數 $n$ 的所有正因數的積，例如 : $P(6)=1 \times 2 \times 3 \times 6 \circ$ 若 $P(n)=2^{21}$, 則正整數 $n=$

10.擲一個骰子三次, 至少出現一次 1 點且至少出現一次 2 點的機率為?

11. 如右圖, $\angle 1=\angle 2=\angle 3, \overline{\mathrm{BC}}=3, \overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{DE}}=1$, 求 $\overline{\mathrm{AC}}$ 的長度 $=?$

12.如右圖, $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$, 且 $\overline{\mathrm{AB}}=3, \overline{\mathrm{AC}}=5$, 在斜邊 $\overline{\mathrm{BC}}$ 上有三點 $\mathrm{G} 、 \mathrm{D} 、 \mathrm{H}$ ，使得四邊形 AFDE、FJHL、EIGK 皆為正方形，而這三個正方形的邊長依序為 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$, 則序對 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})=?$

13.如右圖, 在邊長是 $5$ 的正方形內畫四個正三角形, 各編號為 (1)、(2)、(3)、(4), 試求(3)號三角形的邊長

14. 右圖中, $\mathrm{ABCD}$ 為邊長為 $6$ 的正方形, 在 $\overline{\mathrm{AB}}$ 上取一點 $\mathrm{P}$ 使 $\overline{\mathrm{AP}}=4$, 在 $\overline{\mathrm{CD}}$ 上取一點 $\mathrm{Q}$ 使 $\overline{\mathrm{DQ}}=5$, 連接 $\overline{\mathrm{AQ}}$ 及 $\overline{\mathrm{PD}}$ 交於 $\mathrm{R}$, 連接 $\overline{\mathrm{BQ}}$ 及 $\overline{\mathrm{PC}}$ 交於 $\mathrm{S}$, 則四邊形 $PRQS$ 的面積為?

15. 座標平面上有兩點 $\mathrm{A}(2,0) 、 \mathrm{~B}(2+\sqrt{3}, 1)$, 試在 $\mathrm{x}$ 軸上找一點 $\mathrm{P}(\mathrm{k}, 0)$ 使 $\triangle \mathrm{PAB}$ 為等腰三角形, 則 $\mathrm{k}$ 值可能為? (答案不只一個, 全對才給分)

16. 設 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+\mathrm{c}$ 的圖形與 $\mathrm{x}$ 軸交於 $\mathrm{A}(\mathrm{p}, 0) 、 \mathrm{~B}(\mathrm{q}, 0)$ 兩點, 且 $\displaystyle \mathrm{p}^{4}+\mathrm{q}^{4}=\frac{7}{2}$, 則 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小值為?

17.有 $10$ 位同學的小考成績分別為 $30 、 40 、 50 、 60 、 60 、 60 、 70 、 80 、 90 、 100$, 從這 $10$ 位同學中任選三位同學，則 這三位同學成績的中位數為 $60$ 分的選法有幾種?

18.設 $\mathrm{a}$ 為自然數, 且 $17 \cdot \mathrm{a}$ 是一個由數字 0 或 1 所組成的多位自然數，則 $\mathrm{a}$ 的最小值為?

19.如右圖, $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\overline{\mathrm{AB}}=3 、 \overline{\mathrm{BC}}=4 、 \overline{\mathrm{AC}}=5$, 若圓 $\mathrm{O}_{1}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的內切圓, 且圓 $\mathrm{O}_{2}$ 與圓 $\mathrm{O}_{1}$ 及 $\overline{\mathrm{BC}} 、 \overline{\mathrm{AC}}$ 均相切, 則圓 $\mathrm{O}_{2}$ 之半徑為?

20. $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{x}^{\mathrm{n}-1}+\ldots \ldots+\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}+\mathrm{a}_{0}$, 其中 $\mathrm{n}$ 為自然數, $\mathrm{a}_{\mathrm{n}} 、 \mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} 、 \cdots \mathrm{a}_{0}$ 均為小於或等於 6 的非負整數, 若 $\mathrm{f}(7)=51983$, 求 $f(1)=?$