嘉義高中科學班100年數學測驗試卷

嘉  嘉義高中 100 學年度科學班成班 第一階段 數學科成就測驗 試題卷 

注意事項： 

 1. 本測驗共有 20 題, 皆為填充題, 每題 5 分, 共 100 分。 

 2. 測驗時間為 70 分鐘。 

 3. 可利用試題卷空白處計算。 

 1. 已知一等差數列的第一項為 4 , 第二項為 6 , 奇數項的和比偶數項的和多 20 , 求此等差數列共有幾項? 

 2. 如右圖所示, 將 $\triangle A B C$ 以 $C$ 為中心逆時針旋轉 $50^{\circ}$ 得 $\triangle P Q C, P$ 為 $\overline{A B}$ 邊上一點, 求 $\angle C Q B$ 的角度為? 

 3. 設 $\displaystyle \frac{37}{5} \times\left(\frac{7}{37}+\frac{n}{111}\right)$ 的值是一個正整數，且 $n$ 是介於 50 和 150 之間的正整數，求 $n$ 的最大值為? 

 4. 已知 $x^{2} \geq 0 ， y^{2} \geq 0$ ，求 $x^{2}+2 y^{2}+6 x+8 y+2011$ 的最小值為? 

 5. 設 $a=123456789^{2}-2 \times 123456785^{2}+123456781^{2}$, 求 $a$ 的值為? 

 6. 如右圖所示, 圓 $B$ 與圓 $C$ 的面積和是圓 $A$ 面積的 $\displaystyle \frac{3}{5}$, 且各圓中陰影部分的面積對於各個圓來說, 等於圓 $A$ 面積的 $\displaystyle \frac{1}{7}$ 、圓 $B$ 面積的 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 、圓 $C$ 面積的 $\displaystyle \frac{1}{3}$, 求圓 $A$ 面積：圓 $B$ 面積：圓 $C$ 面積的連比為? (以最簡單的整數比作答) 

 7. 已知 $\underbrace{999 \cdots 9}_{2011 \text { 個 }} \times \underbrace{777 \cdots 7}_{2011 \text { 個 }}$ 乘開後的所有數字和為 $\mathrm{k}$ ，求 $\mathrm{k}$ 的值為? 

 8. 二次函數 $y=a x^{2}+b x+c$ 的圖形過點 $(1,2)$ 且與 $x$ 軸交於 $A 、 B$ 兩點，若 $\overline{A B}=4, b^{2}-4 a c=4$, 且頂點在第一象限, 則數對 $(a, b, c)$ 為? 

 9. 已知 $1^{3}=1,2^{3}=3+5,3^{3}=7+9+11,4^{3}=13+15+17+19, \ldots, n^{3}$ 可表成 $n$ 個連續正奇數的和 ， 即 $n^{3}=\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}+\cdots+\mathrm{b}_{n}$ 。當 $n=15$ 時，求數對 $\left(\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{15}\right)$ 為 ? 

 10. 已知 $a$ 是方程式 $x^{2}-2 x-2=0$ 的解，求 $a^{3}-7 a-4$ 的值為? (兩解) 

 11. 如右圖所示，在座標平面上有一正方形 $ABCD$ ， $O(0,0)，B(120)．C(0,5)，$且 $\angle B O C$ 的角平分線交 $\overline{A D}$ 於 $E$ 點，求 $E$ 點的坐標為? 

 12. 如右圖所示， $\triangle A B C$ 中, $D 、 E$ 兩點分別在 $\overline{A B} 、 \overline{A C}$ 上，若 $\overline{A D}=4, \overline{D B}=2$, $\overline{A E}=3, \overline{E C}=5, \overline{C D}=6$, 則 $\overline{B E}$ 的長度 為? 

 13. 如右圖所示, $E 、 F 、 G 、 H$ 分別是正方形 $A B C D$ 各邊的中點， 已知正方形的邊長是 1，求中間小正方形(陰影部份)的面積為? 

 14. 如右圖所示, $\triangle A B C$ 中, $D$ 在 $\overline{A B}$ 上, $E$ 在 $\overline{B C}$ 上, $\overline{A E}$ 與 $\overline{C D}$ 交於 $P$ 點。 若 $\overline{A D}: \overline{D B}=\overline{B E}: \overline{E C}=1: 2$, 且 $\triangle A D P$ 的面積為 1 , 求 $\triangle A B C$ 的面積為? 

 15. 因式分解 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-15 x^{2}$ 為 ? 

 16. 方程式 $x+y=10(\sqrt{x-27}+\sqrt{y-23})$ 的解 $(x, y)$ 為? 

 17. 設 $n$ 是正整數, $a_{n}$ 表示 $\sqrt{n}$ 的整數部分，例如 $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{10}=3$, 求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{64}$ 的值為? 

 18. 如右圖所示, $\triangle A B C$ 中, $\overline{A B}=\overline{A C}=6, \overline{B C}=3, P$ 為 $\triangle A B C$ 內部一點 , $Q 、 R 、 S$ 三點分別在在 $\overline{A B} 、 \overline{B C} 、 \overline{A C}$ 上 , $\overline{P S} / / \overline{A B} 、 \overline{P Q} / / \overline{B C}$ 且 $\overline{P R} / / \overline{A C}$, 若 $\overline{P Q}=\overline{P R}=\overline{P S}$, 則 $\overline{P Q}$ 的長度為? 

 19. 如右圖所示, 已知長方形 $A B C D$ 的面積為 $1, P$ 在 $\overline{B C}$ 上, $Q$ 在 $\overline{C D}$ 上， 若 $\triangle A B P 、 \triangle P C Q$ 與 $\triangle A D Q$ 三個面積都相等，則 $\triangle A P Q$ 的面積為?

 20. 如右圖所示, $A B C D$ 是平行四邊形, $\triangle A C D$ 的外接圓交 $\overline{B C}$ 於 $E$, 且外接圓與 $\overline{A B}$ 相切於 $A$, 若 $\overline{C D}=2$ 且 $\overline{D E}=3$, 則 $\overline{B E}$ 的長度為?