科學班試題題庫

嘉　嘉義高中 103 學年度科學班一數學科能力檢定試題 填充題 (每題 $5$ 分, 共 $100$ 分) 1 如右圖，$\overline{\mathrm{OC}}$ 是圓 $\mathrm{O}$ 的半徑，$\mathrm{O}$ 點是圓心，弦 $\overline{\mathrm{BD}}$ 與 $\overline{\mathrm{OC}}$ 交於 $\mathrm{E}$ 點。已知 $\overline{\mathrm{DE}}=3， \overline{\mathrm{BE}}=5$，$\overline{\mathrm{CE}}=1$， 求 $\overline{\mathrm{OE}}$ 的長。 2 已知 $x^{2}+a x+8=0$ 和 $x^{2}+8 x+a=0$ 至少有一相同的根，求所有可能的 $\mathrm{a}$ 值。【兩個解】 3 求絕對值方程式 $|x+3|-|x-1|=x+1$ 的解。【所有可能解都寫出才給分】 4 如右圖，$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}>\angle \mathrm{ABC}>\angle \mathrm{C}, \overline{\mathrm{AD}} \perp \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{BF}} \perp \overline{\mathrm{CA}}$ $\overline{\mathrm{BG}}$ 平分 $\angle \mathrm{ABC}， \overline{\mathrm{AE}}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,若 $\angle \mathrm{DAE}=8^{\circ}，\angle \mathrm{FBG}=16^{\circ}$，求 $\angle \mathrm{C}$ 的度數。 5 在坐標平面上，一正方形之兩個頂點坐標 $\mathrm{A}(\sqrt{6}-\sqrt{5}, 0) 、 \mathrm{~B}(0, \mathrm{t})(\mathrm{t}>0)$, 另兩個頂點都在第一象限，若這四個頂點的 $\mathrm{x}$ 坐標和 $\mathrm{y}$ 坐標之總和為 $8$ ，求 $\math...

 嘉　嘉義高中 102 學年度科學班第一階段初試 數學成就測驗 試題卷 答題說明：本卷共有填充題 20 題, 每題 5 分; 請將答案按題號填寫於答案卷上 1. 求 $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots-30^{2}+31^{2}$ 之值 $=？$ 2. $x 、 y$ 為整數 , 求滿足 $2 x^{2}+y^{2}+8 x+2 y-93=0$ 的 $x 、 y$ 有幾組？ 3. 方程式 $\displaystyle x^{2}+3 x-\frac{3}{x^{2}+3 x-7}=9$ 的所有實根之乘積為？ 4. 如右圖, $\triangle A B C$ 中, $D$ 在 $\overline{A C}$ 上, $E$ 在 $\overline{A B}$ 上, 且 $\overline{A B}=\overline{A C}$ 、 $\overline{B C}=\overline{B D} 、 \overline{A D}=\overline{D E}=\overline{E B}$, 則 $\angle A=？$ 5. 如右圖, $\overline{A D}: \overline{D F}=\overline{B E}: \overline{E D}=\overline{C F}: \overline{F E}=3: 2$, 則 $\triangle A B C$ 與 $\triangle D E F$ 的面積比為？ 6. 如右圖, $B 、 C$ 將 $\overline{A D}$ 三等分, $\overline{A B} 、 \overline{B C} 、 \overline{C D}$ 分別是圓 $O 、 N 、 P$ 的直徑， 這三個圓的半徑都是 15 , 設 $\overline{A G}$ 切圓 $P$ 於點 $G$, 且交圓 $N$ 於 $E 、 F$, 貝 $\overline{E F}=？$ 7. 某地區足球聯盟數今年較去年多了 $10 \%$ ，其中男性成員增加 $5 \%$ 且女性成員增加 $20 \%$, 試問 今年足球聯盟女性成員所佔的比例為？ 8. 將一粒骰子投擲二次出現的點數依次為 $a 、 b$, 做出二次式 $x^{2}-a x+...

嘉 嘉義高中 101 學年度科學班成班 第一階段 數學科成就測驗 試題卷  答題說明:本卷共有填充題 20 題, 每題 5 分；請將答案按題號填寫於答案卷上。 1. 已知一等差數列有 60 項, 前 40 項的和是 40 , 後 40 項的和是 70 , 則首項與末項的和是? 2. 已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 三頂點為 $\mathrm{A}(3,-7), \mathrm{B}(-4,5), \mathrm{C}(7,0)$, 而重心是 $\mathrm{G}$, 求 $\Delta \mathrm{ABG}$ 的面積為? 3.如右圖， $\mathrm{ABCD}$ 為平行四邊形, $\mathrm{M}$ 為 $\overline{\mathrm{BC}}$ 的中點，若 $\overline{\mathrm{AC}} 、 \overline{\mathrm{AM}}$ 分別與 $\overline{\mathrm{BD}}$ 交於點 $\mathrm{E}$ 與 $\mathrm{F}$, 則四邊形 $EFMC$ 與三角形 $\mathrm{ABD}$ 的面積比為? 4. 若 $(x-1)(57 x+2)+(7 x-2)^{2}+(31 x-27)^{2}=a x^{2}+b x+c$, 則 $a+b+c=$ 5.試求 $\displaystyle \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \ldots \times 101}{6^{100}}$ (分子為 1 到 101 的連續整數的乘積)化為最簡分數後的分母為? (以指數型態作答即可) 6. 如右圖 , $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \overline{\mathrm{AD}}=10, \overline{\mathrm{BC}}=30$, 則四邊形 $\mathrm{ABCD}$ 的內切圓半徑為? 7. 跳蟲依下列的規律, 從 1 號位置往順時針方向開始跳動： (1)如果跳蟲所在的位置是奇數, 那麼它下一次將跳動 1 格, 如由 1 號跳動一下到 2 號； (2)如果跳蟲所在的位置是偶數, 那麼它下一次將跳動 3 格, 如由 2 號跳動一下...

嘉  嘉義高中 100 學年度科學班成班 第一階段 數學科成就測驗 試題卷  注意事項：   1. 本測驗共有 20 題, 皆為填充題, 每題 5 分, 共 100 分。   2. 測驗時間為 70 分鐘。   3. 可利用試題卷空白處計算。   1. 已知一等差數列的第一項為 4 , 第二項為 6 , 奇數項的和比偶數項的和多 20 , 求此等差數列共有幾項?   2. 如右圖所示, 將 $\triangle A B C$ 以 $C$ 為中心逆時針旋轉 $50^{\circ}$ 得 $\triangle P Q C, P$ 為 $\overline{A B}$ 邊上一點, 求 $\angle C Q B$ 的角度為?   3. 設 $\displaystyle \frac{37}{5} \times\left(\frac{7}{37}+\frac{n}{111}\right)$ 的值是一個正整數，且 $n$ 是介於 50 和 150 之間的正整數，求 $n$ 的最大值為?   4. 已知 $x^{2} \geq 0 ， y^{2} \geq 0$ ，求 $x^{2}+2 y^{2}+6 x+8 y+2011$ 的最小值為?   5. 設 $a=123456789^{2}-2 \times 123456785^{2}+123456781^{2}$, 求 $a$ 的值為?   6. 如右圖所示, 圓 $B$ 與圓 $C$ 的面積和是圓 $A$ 面積的 $\displaystyle \frac{3}{5}$, 且各圓中陰影部分的面積對於各個圓來說, 等於圓 $A$ 面積的 $\displaystyle \frac{1}{7}$ 、圓 $B$ 面積的 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 、圓 $C$ 面積的 $\displaystyle \frac{1}{3}$, 求圓 $A$ 面積：圓 $B$ 面積：圓 $C$ 面積的連比為? (以最簡單的整數比作答)   7. 已知 $\underbr...

臺北市立建國高級中學 105 學年度科學班甄選入學科學能力檢定   【數學能力檢定試題卷】 甄選證號碼   注意事項 : 測驗時間為 100 分鐘。 請核對答案卷號與甄選證號碼是否相同，並於本試題卷右上角標示甄選證號碼。  試題卷共 4 頁，可利用空白處計算，但答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。  試題卷務必連同答案卷（均請勿書寫姓名）一併繳回。    一、多重選擇題: 每題 7 分, 共 14 分 。   說明 :    (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對 者得 7 分, 只答错一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。   (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 ${ }^{\circ}$    1. 設二次函數 $f(x)=a x^{2}+b x+c$ 的係數均為整數且 $f(1) 0$  若方程式 $f(x)=0$ 在 $1<x<2$ 範圍内有兩個不同的根。請選出正確的選項: (1) $a<0$ (2) $4 a+2 b+c \leq-1$ (3) $4 a+b>0$ (4) $c$ 的值可能為 $-1$ (5) $a$ 的最大值為 $-5$ 2. 已知正方形 $A B C D$ 的邊長 1 公分, 矩形 $E F G H$ 的邊 $\overline{F G} 、 \overline{G H}$ 長 度分別為 8 公分、 6 公分。正方形 $A B C D$ 的邊 $\overline{A D}$ 在矩形 $E F G H$ 的邊 $\overline{F G}$ 上，將正方形 $A B C D$ 以每秒 1 公分等速度地沿 $\overline{F G}$ 方向 移...

建  臺北市立建國高級中學 108學年度科學班甄選入學科學能力檢定   一、多重選擇題：每題 7 分，共 14 分。(答案須依題號寫在答案卷上, 否則不予計分)   說明：   (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 7 分, 只答錯一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。  (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 ${ }^{\circ}$   1. 設 2 到 48 的連續 24 個偶數之乘積為 $a，1$ 到 47 的連續 24 個奇數之乘積為 $b$，且 $\displaystyle x=\frac{b}{a}$ 。 已知 $x$ 可化簡成 $\displaystyle \frac{d}{c}$，其中 $c, d$ 均為正整數且 $c, d$ 互質；另知 $\sqrt{x}$ 可化簡成 $\displaystyle \frac{n}{m} \sqrt{p} ，$ 其中 $m, n, p$ 均為正整數, $m, n$ 互質且 $m, p$ 互質。請選出正確的選項。  (1) $a$ 有 9 個質因數  (2) $3^{22}$ 是 $b$ 的因數  (3) $d$ 有 9 個質因數  (4) $2^{23}$ 是 $m$ 的因數  (5) $n=15$   2. 如圖 (參考用圖, 不是精準圖形)，已知 $\overline{A B}$ 為圓的直徑， $O$ 為其圓心，且半徑為 $1 \circ M$ 為圓上一定點，且 $\angle A O M=90^{\circ}$，$C$ 是在上半圓上移動的點，連接 $A 、 C$ 兩點並延長至 $P$ 點 ， 使得 $\overline{C P}=\overline{C B}$ 。請選出正確的選項。   (1) 若 $C \neq B$ 且 $C \neq M$, 則 $\angle B C M$ 的度數只有兩個可能值   (2) 當 $C$ 點移動時, $P...

建  臺北市立建國高級中學 $106$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定  【數學能力檢定】試題卷      甄選證號碼    注意事項：   1. 測驗時間為 $100$ 分鐘。   2. 請核對「答案卷」左上角的號碼與自已的甄選證號碼是否一致，並於本試題卷右上角標 示甄選證號碼。   3. 試題卷共 $4$ 頁，可利用空白處計算，但答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。   4. 試題卷務必連同答案卷（均請勿書寫姓名）一併繳回。   一、多重選擇題：每題 $7$ 分， 共 $14$ 分。  說明：  (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對 者得 $7$ 分，只答錯一個選項者可得 $4$ 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作 答者，該題以零分計算  (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $\lrcorner 。$   1. 已知 $a, b, c, d$ 為四個整數, 滿足 $a \geq b \geq c \geq d， a+b+c+d=0，a d-b c+6=0$，請問下列哪些選項是 正確的?   (1) $(a+b)(a+c)=6$   (2) $(a+b)$ 之值可能為 $-2$   (3) $(b-c)$ 的最小值為 $1$   (4) $(a-d)$ 的最大值為 $5$   (5)共有四組序對 $(a, b, c, d)$ 滿足題目的所有條件   2. 在坐標平面上，設 $O$ 為原點，已知抛物線 $\Gamma$ 的方程式為 $y=x^{2}+2 x+1$， 直線 $L_{n}$ 的方程式為 $y=\left(2^{n-2}\right) x+5$，其中 $n$ 為正整數, 設拋物線 $\Gamma$ 與直線 $L_{n}$ 交於 $A_{n} 、 B_{n}$ 兩點，過點 $A_{n}$ 對 $x$ 軸作垂直 線交 $X$ 軸於...

建 臺北市立建國高級中學 $110$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定 【數學能力檢定】試題卷 一、多重選擇題: 每題 $7$ 分，共 $14$ 分。答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。 說明： (1) 每題的五個選項各自獨立, 其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答 對者得 $7$ 分，只答錯一個選項者可得 $4$ 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。 (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $」 。$ 1. 如果一個正整數 $n$ 能夠同時唯一表示為 $k(k \geq 2)$ 個正整數的和 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}$ 與它們之積 $a_{1} \times a_{2} \times \cdots \times a_{k}$，那麼此正整數稱為"好數"。例如 $10$ 就是"好數"，$10=5+2+1+1+1=5 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1$， 且此種表示唯一。請選出正確的選項。 (1) 34 是"好數" (2) 17 是"好數" (3) 若 $n=p^{2}+q^{2}$, 其中 $p 、 q$ 為相異正整數，則 $n$ 是 "好數" (4) 若 $n=p \times q$, 其 中 $p 、 q$ 為相異質數，則 $n$ 是"好數" (5) 若 $n=p \times q \times r$, 其中 $p 、 q 、 r$ 為兩兩相異 質數，則 $n$ 是 "好數" 2. 設 $a, b, c, d, e, f$ 是 $1,2,3,4,5,6$ 的一個排列，且滿足下列關係式 : $$ \left\{\begin{array}{l} c \times d

建  臺北市立建國高級中學 $109$ 學年度科學班甄選入學科學能力檢定   【數學能力檢定】試題卷   一、多重選擇題：每題 $7$ 分，共 $14$ 分。 答案須依題號寫在答案卷上，否則不予計分。    說明：  (1) 每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 7 分，只答錯一個選項者可得 4 分，答錯兩個或兩個以上選項者不給分；所有選項均末作答者，該題以零分計算。  (2) 答錯選項的定義為「沒選正確的選項或選了不正確的選項 $」$   1. 大雄使用電腦做中文打字練習，在 $26$ 分鐘內，連續打了 $3815$ 個字，已知他第一分鐘打了 $112$ 個字，最後一分鐘打了 $98$ 個字，如果計算他每一分鐘所打的字數，請選出正確的選項。   (1) 必有連續的 $2$ 分鐘打了至少 $301$ 個字   (2) 必有連續的 $3$ 分鐘打了至少 $451$ 個字   (3) 必有連續的 $4$ 分鐘打了至少 $600$ 個字   (4) 必有連續的 $6$ 分鐘打了至少 $902$ 個字   (5) 必有連續的 $8$ 分鐘打了至少 $1202$ 個字   2. 如圖 (參考用圖，末必精準圖形)，已知圓 $\Gamma$ 是以點 $O$ 為圓心且半徑為 $6$ 的圓，線段 $\overline{A B}$ 與圓 $\Gamma$ 交於點 $C 、 D$，線段 $\overline{O B}$ 與圓 $\Gamma$ 交於點 $E$，設 $\overline{O A}=x，\overline{C D}=y$， 若 $\overline{A C}=9，\angle B O D=\angle O A B$，請選出正確的選項。   (1) $\triangle O B D$ 與 $\triangle A O C$ 相似   (2) $\overline{B D}=5$   (3) $\displaystyle y=\frac{...